CoCoA nedir?

CoCoA sayılar ve polinomlar ile hesap yapmaya yarayan bir programdır.
Ücretsizdir.
Bir çok işletim sisteminde çalışabilmektedir.
Bir çok araştırmacı tarafından kullanılmaktadır bununla birlikte “basit” hesaplamalar içinde kullanılabilir.

Cok Buyuk Tam Sayılar

32-bitlik bir bilgisayarda kullanabileceğiniz en büyük “makine üretimi tam sayı” 2^32 dir, fakat CoCoA’nin güçlü GMP kütüphanesi sayesinde, 2^300000 büyüklüğünde sayılar hesaplayabilirsiniz: deneyin!

2^32-1;

4294967295

2^64-1;

18446744073709551615

Rasyonel Sayılar

CoCoA kesirlerde tam sonuç verir: asla yuvarlamaz! Yani 1/3, 0.3333333333333333den oldukça farklıdır.

(1/3) * 3;

0.3333333333333 * 3;

9999999999999/10000000000000

Polinomalar

CoCoA polinom hesaplamaları için özelleştirilmiştir: çarpabilir, bölebilir, faktörize edebilir ...

(x-y)^2 * (x^4-4*z^4) / (x^2+2*z^2);

x^4 -2*x^3*y +x^2*y^2 -2*x^2*z^2 +4*x*y*z^2 -2*y^2*z^2

Factor(x^4 -2*x^3*y +x^2*y^2 -2*x^2*z^2 +4*x*y*z^2 -2*y^2*z^2);

record[
  RemainingFactor := 1,
  factors := [x^2 -2*z^2,  x -y],
  multiplicities := [1,  2]]
]

Lineer Sistemler

CoCoA lineer sistemleri çözebilir.

f =
c

eşitliğini şu haldeki f – c polinom şeklinde yazmak yeterlidir. CoCoA polinom sistemlerini çözebilir , fakat daha sonrada göreceğimiz gibi bu biraz zordur. Şimdi alttaki sistemi çözelim.

x-y+z	=2
3x-z	=-6
x+y	=1

System := ideal(x-y+z-2, 3*x-z+6, x+y-1);
ReducedGBasis(System);

[x +3/5,  y -8/5,  z -21/5]

Sonuç (z=21/5, x=-3/5, y=8/5).

Negatif Olmayan Tam Sayı Çözümleri

Aşağıdaki sistemde, non-negatif (negatif olmayan) üçlü tam sayı çözümleri bulabilir misiniz?

3x - 4y + 7z	=2
2x - 2y + 5z	=10

M := mat([[3, -4, 7, -2], [2, -2, 5, -10]]);
H := HilbertBasisKer(M);
L := [h In H | h[4] <= 1];
L;

[[0, 10, 6, 1], [6, 11, 4, 1], [12, 12, 2, 1], [18, 13, 0, 1]]

Sonuçta sadece dört çözüm vardır: (0, 10, 6), (6, 11, 4), (12, 12, 2), (18, 13, 0).

Mantık Örneği

A der ki: "B yalan söylüyor."
B der ki: "C yalan söylüyor."
C der ki: "A ve B yalan söylüyorlar."
O halde burada kim yalan söylüor?
Bu soruya cevap vermek için, ZZ/(2) de , DOĞRU’yu (TRUE) 1 ile ve YANLIŞ’ı ( FALSE) 0 ile kodluyoruz ZZ/(2):

use ZZ/(2)[a,b,c];
I1 := ideal(a, b-1);
I2 := ideal(a-1, b);
A := intersect(I1, I2);
I3 := ideal(b, c-1);
I4 := ideal(b-1, c);
B := intersect(I3, I4);
I5 := ideal(a, b, c-1);
I6 := ideal(b-1, a, c);
I7 := ideal(b, a-1, c);
I8 := ideal(b-1, a-1, c);
C := IntersectList([I5, I6, I7, I8]);
ReducedGBasis(A + B + C);

[b +1,  a,  c]

Sonuçta, tek çözüm A ve C nin yalan B nin doğru söylediğidir.

Coğrafi Harita Boyama

Birbirine komşu iki ülke aynı renkte olmayacak şekilde herhangi bir harita üzerindeki ülkeler üç renk ile boyanabilir mi?

use P ::= ZZ/(3)[x[1..6]];
define F(X)  return X*(X-1)*(X+1);  enddefine;
VerticesEq := [ F(x[i]) | i in 1..6 ];
edges := [[1,2],[1,3],  [2,3],[2,4],[2,5],  [3,4],[3,6],
          [4,5],[4,6],  [5,6]];
EdgesEq := [ (F(x[edge[1]])-F(x[edge[2]]))/(x[edge[1]]-x[edge[2]])
                  |  edge in edges ];
I := ideal(VerticesEq) + ideal(EdgesEq) + ideal(x[1]-1, x[2]);
ReducedGBasis(I);

[x[2],  x[1] -1,  x[3] +1,  x[4] -1,  x[6],  x[5] +1]

Gerçekten bu duruma uygun bir boyama mevcuttur: Mesela , eğer 0 maviyi, 1 kırmızıyı ve -1 yeşili temsil ederse, [ülke1=kırmızı; ülke2=mavi; ülke3=yeşil;ülke4=kırmızı;ülke5=yeşil; ülke6=mavi] şeklinde bir çözüm elde ederiz.

Heron Formülü

Bir üçgenin alanını kenarlarının uzunluğu şeklinde ifade etmek mümkün müdür?

use QQ[x[1..2],y,a,b,c,s];
A := [x[1], 0];
B := [x[2], 0];
C := [ 0,   y];
Hp := ideal(a^2 - (x[2]^2+y^2),  b^2 - (x[1]^2+y^2),
            c   - (x[2]-x[1]),   2*s - c*y);
E := elim(x[1]..y, Hp);
f := monic(gens(E)[1]);
f;

a^4 -2*a^2*b^2 +b^4 -2*a^2*c^2 -2*b^2*c^2 +c^4 +16*s^2

factor(f - 16*s^2);

record[
  RemainingFactor := 1,
  factors := [a +b -c,  a -b +c,  a +b +c,  a -b -c],
  multiplicities := [1,  1,  1,  1]
]

Elimizde s^2 = -(1/16)(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(a-b-c). Bu kenarları a,b,c olan ve p=1/2(a+b+C) yarı-çevreyi temsil ettiği durumda, üçgenin alanının karesi p(p-a)(p-b)(p-c) dir. O halde cevap,EVET dir.