Home Page
|
CoCoA System
Computations in
Commutative
Algebra
Ce este CoCoA?
|
|
This pages counts
visits
by
visitors
- CoCoA este un program de calcul cu numere şi polinoame.
- Este gratis.
- Funcţioneaza pe mai multe sisteme de operare.
- Este utilizat de multi cercetători, el poate fi util chiar şi
pentru calcule "simple".
Ce se poate calcula cu CoCoA?
Numere întregi foarte mari
Cel mai mare "întreg-maşină" care se
foloseşte pe un computer de 32 biţi este 2^32-1, dar CoCoA poate
calcula numere de mărimea 2^300000, graţie puterii bibliotecii GMP.
Încercaţi!
2^32-1;
4294967295
2^64-1;
18446744073709551615
Numere raţionale
Programul CoCoA este foarte precis când se
lucrează cu
fracţii: el nu le aproximează niciodată! Astfel
1/3 este foarte diferit de 0.3333333333333 .
(1/3) * 3;
1
0.3333333333333 * 3;
9999999999999/10000000000000
Polinoame
Programul CoCoA este specializat în calcule cu
polinoame: el poate multiplica, divide, factoriza,...
(x-y)^2 * (x^4-4*z^4) / (x^2+2*z^2);
x^4 -2*x^3*y +x^2*y^2 -2*x^2*z^2 +4*x*y*z^2 -2*y^2*z^2
Factor(x^4 -2*x^3*y +x^2*y^2 -2*x^2*z^2 +4*x*y*z^2 -2*y^2*z^2);
record[
RemainingFactor := 1,
factors := [x^2 -2*z^2, x -y],
multiplicities := [1, 2]]
]
Sisteme liniare
Programul CoCoA poate rezolva sisteme
liniare. Este suficient să scrieţi fiecare ecuaţie
f = c
ca polinomul
f -
c
. Programul CoCoA poate rezolva de asemenea sisteme neliniare,
dar aceasta este ceva mai dificil, după cum vom vedea mai tâziu.
Acum sa rezolvăm sistemul
System := ideal(x-y+z-2, 3*x-z+6, x+y-1);
ReducedGBasis(System);
[x +3/5, y -8/5, z -21/5]
Deci soluţia este (z=21/5, x=-3/5, y=8/5)
Soluţii întregi ne-negative
Determinaţi toate tripletele de soluţii
de întregi ne-negative ale următorului sistem:
3x - 4y + 7z | =2 |
2x - 2y + 5z | =10 |
M := mat([[3, -4, 7, -2], [2, -2, 5, -10]]);
H := HilbertBasisKer(M);
L := [h In H | h[4] <= 1];
L;
[[0, 10, 6, 1], [6, 11, 4, 1], [12, 12, 2, 1], [18, 13, 0, 1]]
Deci există numai
următoarele patru soluţii:
(0, 10, 6), (6, 11, 4), (12, 12, 2), (18, 13, 0).
Exemplu logic
A zice: "B minte."
B zice: "C minte."
C zice: "A şi B mint."
Deci, cine este mincinosul?
Ca să răspundem la această întrebare codificăm
ADEVARAT cu 1 şi FALS cu 0 în ZZ/(2):
use ZZ/(2)[a,b,c];
I1 := ideal(a, b-1);
I2 := ideal(a-1, b);
A := intersect(I1, I2);
I3 := ideal(b, c-1);
I4 := ideal(b-1, c);
B := intersect(I3, I4);
I5 := ideal(a, b, c-1);
I6 := ideal(b-1, a, c);
I7 := ideal(b, a-1, c);
I8 := ideal(b-1, a-1, c);
C := IntersectList([I5, I6, I7, I8]);
ReducedGBasis(A + B + C);
[b +1, a, c]
Unica soluţie este că A şi C mint,
iar B zice adevărul.
Harta geografică în culori
Pot ţările de pe următoarea hartă
să fie
colorate cu trei culori astfel încât nici-o pereche de
ţări adiacente să aibă aceeaşi culoare?
use P ::= ZZ/(3)[x[1..6]];
define F(X) return X*(X-1)*(X+1); enddefine;
VerticesEq := [ F(x[i]) | i in 1..6 ];
edges := [[1,2],[1,3], [2,3],[2,4],[2,5], [3,4],[3,6],
[4,5],[4,6], [5,6]];
EdgesEq := [ (F(x[edge[1]])-F(x[edge[2]]))/(x[edge[1]]-x[edge[2]])
| edge in edges ];
I := ideal(VerticesEq) + ideal(EdgesEq) + ideal(x[1]-1, x[2]);
ReducedGBasis(I);
[x[2], x[1] -1, x[3] +1, x[4] -1, x[6], x[5] +1]
Interpretarea rezultatului
este că există o asemenea
colorare în acest caz. De exemplu, dacă 0 înseamnă
albastru, 1 înseamnă roşu şi -1 înseamnă
verde, obţinem
[ţara 1 = roşu; ţara 2 = albastru; ţara
3 = verde; ţara 4 = roşu; ţara 5 = verde; ţara 6
= albastru]
Formula lui Heron
Este posibil să exprimăm aria unui triunghi ca
funcţie de lungimea laturilor?
use QQ[x[1..2],y,a,b,c,s];
A := [x[1], 0];
B := [x[2], 0];
C := [ 0, y];
Hp := ideal(a^2 - (x[2]^2+y^2), b^2 - (x[1]^2+y^2),
c - (x[2]-x[1]), 2*s - c*y);
E := elim(x[1]..y, Hp);
f := monic(gens(E)[1]);
f;
a^4 -2*a^2*b^2 +b^4 -2*a^2*c^2 -2*b^2*c^2 +c^4 +16*s^2
factor(f - 16*s^2);
record[
RemainingFactor := 1,
factors := [a +b -c, a -b +c, a +b +c, a -b -c],
multiplicities := [1, 1, 1, 1]
]
Obţinem deci:
s^2 = -(1/16)(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(a-b-c).
Altfel spus, pătratul ariei unui triunghi de laturi
a, b, c este p(p-a)(p-b)(p-c) unde p = 1/2(a+b+c) este semiperimetrul.
Deci răspunsul este DA.
Written by Lucian Bădescu
Please send comments or suggestions to cocoa(at)dima.unige.it
Last Update: 20 November 2018