Home Page
|
CoCoA System
Computations in
Commutative
Algebra
Co to jest CoCoA?
|
|
This pages counts
visits
by
visitors
- CoCoA to program do obliczeń na liczbach i wielomianach.
- Jest programem darmowym.
- Pracuje pod wieloma systemami operacyjnymi.
- Jest używana przez wielu naukowców, ale może także pomóc
w "prostych" obliczeniach.
Co CoCoA potrafi obliczyć ?
Bardzo duże liczby naturalne
Największą, łatwo dostępną (przy użyciu 32-bitowej reprezentacji)
liczbą całkowitą jest 2^32-1. CoCoA, dzięki znakomitej bibliotece GMP,
potrafi obliczyć nawet 2^300000 - spróbuj!
2^32-1;
4294967295
2^64-1;
18446744073709551615
Liczby wymierne
CoCoA wyjątkowo dokładnie oblicza ułamki - po prostu nigdy
ich nie przybliża! Dlatego 1/3 to nie to samo, co 0.3333333333333.
(1/3) * 3;
1
0.3333333333333 * 3;
9999999999999/10000000000000
Wielomiany
Specjalnością programu CoCoA są obliczenia wielomianowe:
mnożenie, dzielenie, rozkład...
(x-y)^2 * (x^4-4*z^4) / (x^2+2*z^2);
x^4 -2*x^3*y +x^2*y^2 -2*x^2*z^2 +4*x*y*z^2 -2*y^2*z^2
Factor(x^4 -2*x^3*y +x^2*y^2 -2*x^2*z^2 +4*x*y*z^2 -2*y^2*z^2);
record[
RemainingFactor := 1,
factors := [x^2 -2*z^2, x -y],
multiplicities := [1, 2]]
]
Układy równań liniowych
CoCoA potrafi rozwiązać układ równań liniowych. Trzeba tylko
zapisać każde równanie
f = c
jako wielomian
f - c
. CoCoA potrafi również rozwiązywać układy
równań wielomianowych, ale jest to trochę trudniejsze
(przykład pojawi się później). Teraz spróbujemy rozwiązać układ
System := ideal(x-y+z-2, 3*x-z+6, x+y-1);
ReducedGBasis(System);
[x +3/5, y -8/5, z -21/5]
Rozwiązaniem jest (z=21/5, x=-3/5, y=8/5)
Rozwiązania w liczbach naturalnych
Czy potrafisz znaleźć liczby naturalne, które spełniają
poniższy układ równań?
3x - 4y + 7z | =2 |
2x - 2y + 5z | =10 |
M := mat([[3, -4, 7, -2], [2, -2, 5, -10]]);
H := HilbertBasisKer(M);
L := [h In H | h[4] <= 1];
L;
[[0, 10, 6, 1], [6, 11, 4, 1], [12, 12, 2, 1], [18, 13, 0, 1]]
Możemy odczytać wynik - program znalazł cztery rozwiązania:
(0, 10, 6), (6, 11, 4), (12, 12, 2), (18, 13, 0).
Przykład z logiki
A mówi: "B kłamie."
B mówi: "C kłamie."
C mówi: "A oraz B kłamią."
Kto skłamał?
Aby to rozwikłać zapisujemy PRAWDĘ jako 1, a FAŁSZ jako 0 w
pierścieniu ZZ/(2):
use ZZ/(2)[a,b,c];
I1 := ideal(a, b-1);
I2 := ideal(a-1, b);
A := intersect(I1, I2);
I3 := ideal(b, c-1);
I4 := ideal(b-1, c);
B := intersect(I3, I4);
I5 := ideal(a, b, c-1);
I6 := ideal(b-1, a, c);
I7 := ideal(b, a-1, c);
I8 := ideal(b-1, a-1, c);
C := IntersectList([I5, I6, I7, I8]);
ReducedGBasis(A + B + C);
[b +1, a, c]
Jedyne rozwiązanie to: A i C kłamią,
B mówi prawdę.
Kolorowanie mapy
Czy można pokolorować mapę trzema kolorami tak, aby żadne dwa sąsiednie
państwa nie były pokolorowane tak samo?
use P ::= ZZ/(3)[x[1..6]];
define F(X) return X*(X-1)*(X+1); enddefine;
VerticesEq := [ F(x[i]) | i in 1..6 ];
edges := [[1,2],[1,3], [2,3],[2,4],[2,5], [3,4],[3,6],
[4,5],[4,6], [5,6]];
EdgesEq := [ (F(x[edge[1]])-F(x[edge[2]]))/(x[edge[1]]-x[edge[2]])
| edge in edges ];
I := ideal(VerticesEq) + ideal(EdgesEq) + ideal(x[1]-1, x[2]);
ReducedGBasis(I);
[x[2], x[1] -1, x[3] +1, x[4] -1, x[6], x[5] +1]
Odczytujemy rozwiązanie - w tym przypadku odpowiedź brzmi TAK.
Na przykład, jeśli 0 to kolor niebieski, 1 - czerwony, a -1 to zielony,
otrzymujemy rozwiązanie: [państwo 1 = czerwony; państwo 2 = niebieski; państwo
3 = zielony; państwo 4 = czerwony; państwo 5 = zielony; państwo 6 = niebieski]
Wzór Herona
Czy można wyrazić pole trójkąta jako funkcję długości jego boków?
use QQ[x[1..2],y,a,b,c,s];
A := [x[1], 0];
B := [x[2], 0];
C := [ 0, y];
Hp := ideal(a^2 - (x[2]^2+y^2), b^2 - (x[1]^2+y^2),
c - (x[2]-x[1]), 2*s - c*y);
E := elim(x[1]..y, Hp);
f := monic(gens(E)[1]);
f;
a^4 -2*a^2*b^2 +b^4 -2*a^2*c^2 -2*b^2*c^2 +c^4 +16*s^2
factor(f - 16*s^2);
record[
RemainingFactor := 1,
factors := [a +b -c, a -b +c, a +b +c, a -b -c],
multiplicities := [1, 1, 1, 1]
]
Otrzymujemy rozwiązanie:
s^2 = -(1/16)(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(a-b-c).
Oznacza to, że kwadrat pola trójkąta o bokach a, b,
c jest równy p(p-a)(p-b)(p-c), gdzie p = 1/2(a+b+c) jest połową obwodu.
Stąd odpowiedź brzmi TAK.
Written by Marcin Dumnicki
Please send comments or suggestions to cocoa(at)dima.unige.it
Last Update: 20 November 2018