什麽是CoCoA?

大数运算

在一个32字节的计算机上我们可以使用的最大整数是 2^32-1, 但是在CoCoa中，借助强大GMP的储存功能我们可以计算大到 2^300000 的整数：来试一下！

2^32-1;

4294967295

2^64-1;

18446744073709551615

分数

CoCoA在分数计算中非常精确:它从来不约去数字！因此在CoCoa中 1/3 和 0.3333333333333 是不同的两个数。

(1/3) * 3;

0.3333333333333 * 3;

9999999999999/10000000000000

多项式运算

CoCoA着重于多项式运算:它可用于多项式的乘，除，因式分解， ...

(x-y)^2 * (x^4-4*z^4) / (x^2+2*z^2);

x^4 -2*x^3*y +x^2*y^2 -2*x^2*z^2 +4*x*y*z^2 -2*y^2*z^2

Factor(x^4 -2*x^3*y +x^2*y^2 -2*x^2*z^2 +4*x*y*z^2 -2*y^2*z^2);

record[
  RemainingFactor := 1,
  factors := [x^2 -2*z^2,  x -y],
  multiplicities := [1,  2]]
]

线性方程组

CoCoA 可用来解线性方程组.你只需将每个方程f = c 写成多项式f - c的形式即可.CoCoA 也可用来解多项式方程组, 但这其中的道理比较复杂，我们以后再谈。现在我们来解下列线性方程组

x-y+z	=2
3x-z	=-6
x+y	=1

System := ideal(x-y+z-2, 3*x-z+6, x+y-1);
ReducedGBasis(System);

[x +3/5,  y -8/5,  z -21/5]

因此方程组的解是(z=21/5, x=-3/5, y=8/5)

非负整数解问题

你能找到下列方程组的所有非负整数解吗?

3x - 4y + 7z	=2
2x - 2y + 5z	=10

M := mat([[3, -4, 7, -2], [2, -2, 5, -10]]);
H := HilbertBasisKer(M);
L := [h In H | h[4] <= 1];
L;

[[0, 10, 6, 1], [6, 11, 4, 1], [12, 12, 2, 1], [18, 13, 0, 1]]

结果告诉我们此方程组只有4组非负整数解, (0, 10, 6), (6, 11, 4), (12, 12, 2), (18, 13, 0).

逻辑运算

A 说: "B 在说谎."
B 说: "C 在说谎."
C 说: "A 和 B 都在说谎."
现在究竟是谁在说谎呢?
为回答这个问题，在ZZ/(2)中我们用1来表示真，用0来表示假。

use ZZ/(2)[a,b,c];
I1 := ideal(a, b-1);
I2 := ideal(a-1, b);
A := intersect(I1, I2);
I3 := ideal(b, c-1);
I4 := ideal(b-1, c);
B := intersect(I3, I4);
I5 := ideal(a, b, c-1);
I6 := ideal(b-1, a, c);
I7 := ideal(b, a-1, c);
I8 := ideal(b-1, a-1, c);
C := IntersectList([I5, I6, I7, I8]);
ReducedGBasis(A + B + C);

[b +1,  a,  c]

我们得到的唯一解答是 A 和 C 在说谎,B 说的是事实.

地图添色问题

你能用3种颜色填充下面地图并且使得相邻两国没有相同颜色吗?

use P ::= ZZ/(3)[x[1..6]];
define F(X)  return X*(X-1)*(X+1);  enddefine;
VerticesEq := [ F(x[i]) | i in 1..6 ];
edges := [[1,2],[1,3],  [2,3],[2,4],[2,5],  [3,4],[3,6],
          [4,5],[4,6],  [5,6]];
EdgesEq := [ (F(x[edge[1]])-F(x[edge[2]]))/(x[edge[1]]-x[edge[2]])
                  |  edge in edges ];
I := ideal(VerticesEq) + ideal(EdgesEq) + ideal(x[1]-1, x[2]);
ReducedGBasis(I);

[x[2],  x[1] -1,  x[3] +1,  x[4] -1,  x[6],  x[5] +1]

根据上面结果答案是肯定的。如果0代表蓝色， 1代表红色, -1代表绿色, 我们得到 [国家 1 = 红色; 国家 2 = 蓝色; 国家 3 = 绿色; 国家 4 = 红色; 国家 5 = 绿色; 国家 6 = 蓝色]

Heron 公式

一个三角形的面积可以用它的三边给出吗?

use QQ[x[1..2],y,a,b,c,s];
A := [x[1], 0];
B := [x[2], 0];
C := [ 0,   y];
Hp := ideal(a^2 - (x[2]^2+y^2),  b^2 - (x[1]^2+y^2),
            c   - (x[2]-x[1]),   2*s - c*y);
E := elim(x[1]..y, Hp);
f := monic(gens(E)[1]);
f;

a^4 -2*a^2*b^2 +b^4 -2*a^2*c^2 -2*b^2*c^2 +c^4 +16*s^2

factor(f - 16*s^2);

record[
  RemainingFactor := 1,
  factors := [a +b -c,  a -b +c,  a +b +c,  a -b -c],
  multiplicities := [1,  1,  1,  1]
]

结果告诉我们下列公式 s^2 = -(1/16)(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(a-b-c). 也即，如果一个三角形的三边分别是 a,b 和 c，那麽此三角形的面积是 p(p-a)(p-b)(p-c)，这里 p = 1/2(a+b+c) 代表周长的一半.因此我们得到肯定的答案。