Home Page
|
CoCoA System
Computations in
Commutative
Algebra
Mi az a CoCoA?
|
|
This pages counts
visits
by
visitors
- A CoCoA egy számokkal és polinonomokkal való számolásokra tervezett program.
- Ingyenes.
- Mûködik a legtöbb operációs rendszer alatt.
- Sok kutató dolgozik a segítségével, ugyanakkor ,,egyszerû'' számításokhoz is hasznos.
Mit számolhatunk ki CoCoA-val?
Nagyon nagy egész számok
Egy 32-bites számítógépen a legnagyobb gépi egész 2^32-1,
de a GMP könyvtárnak hála,
CoCoA-ban egészen 2^300000 nagyságú számokig lehet dolgozni.
2^32-1;
4294967295
2^64-1;
18446744073709551615
Racionális számok
CoCoA pontosan kezeli a törteket, sohasem használ közelítést.
Így például 1/3 és 0.3333333333333 nem egyenlõek.
(1/3) * 3;
1
0.3333333333333 * 3;
9999999999999/10000000000000
Polinomok
CoCoA elsõsorban polinomokkal kapcsolatos számolások elvégzésére készült.
Tud többek között szorozni, osztani, faktorizálni.
(x-y)^2 * (x^4-4*z^4) / (x^2+2*z^2);
x^4 -2*x^3*y +x^2*y^2 -2*x^2*z^2 +4*x*y*z^2 -2*y^2*z^2
Factor(x^4 -2*x^3*y +x^2*y^2 -2*x^2*z^2 +4*x*y*z^2 -2*y^2*z^2);
record[
RemainingFactor := 1,
factors := [x^2 -2*z^2, x -y],
multiplicities := [1, 2]]
]
Lineáris egyenletrendszerek
CoCoA meg tud oldani lineáris egyenletrendszereket.
Az
f = c
egyenleteket
f - c
alakban kell megadni. Polinomiális egyenletrendszereket
is meg tud oldani, de ez valamivel bonyolultabb, késõbb
még vissztérünk rá. Most megoldjuk a következõ rendszert:
System := ideal(x-y+z-2, 3*x-z+6, x+y-1);
ReducedGBasis(System);
[x +3/5, y -8/5, z -21/5]
Ezek szerint a megoldás (z=21/5, x=-3/5, y=8/5).
Nemnegatív egész megoldások
Hogyan keressük meg az alábbi egyenlet nemnegatív egész megoldásait?
3x - 4y + 7z | =2 |
2x - 2y + 5z | =10 |
M := mat([[3, -4, 7, -2], [2, -2, 5, -10]]);
H := HilbertBasisKer(M);
L := [h In H | h[4] <= 1];
L;
[[0, 10, 6, 1], [6, 11, 4, 1], [12, 12, 2, 1], [18, 13, 0, 1]]
A kapott eredmény azt mutatja, hogy pontosan négy megoldás van:
(0, 10, 6), (6, 11, 4), (12, 12, 2), (18, 13, 0).
Egy logika példa
A azt mondja, hogy B hazudik.
B azt állítja, hogy C hazudik.
C szerint A és B is hazudik.
Akkor most ki mond igazat és ki nem?
A kérdés megoldása céljából legyen 1 az IGAZ és 0 a HAMIS a ZZ/(2)
test felett.
use ZZ/(2)[a,b,c];
I1 := ideal(a, b-1);
I2 := ideal(a-1, b);
A := intersect(I1, I2);
I3 := ideal(b, c-1);
I4 := ideal(b-1, c);
B := intersect(I3, I4);
I5 := ideal(a, b, c-1);
I6 := ideal(b-1, a, c);
I7 := ideal(b, a-1, c);
I8 := ideal(b-1, a-1, c);
C := IntersectList([I5, I6, I7, I8]);
ReducedGBasis(A + B + C);
[b +1, a, c]
Egyetlen megoldása van az egyenletrendszernek. A megoldás
azt mutatja, hogy A és C hazudik, B igazat mond.
Térkép színezés
Kiszínezhetõek az alábbi térképen az országok úgy, hogy
bármely két szomszédos ország különbözõ színû legyen?
use P ::= ZZ/(3)[x[1..6]];
define F(X) return X*(X-1)*(X+1); enddefine;
VerticesEq := [ F(x[i]) | i in 1..6 ];
edges := [[1,2],[1,3], [2,3],[2,4],[2,5], [3,4],[3,6],
[4,5],[4,6], [5,6]];
EdgesEq := [ (F(x[edge[1]])-F(x[edge[2]]))/(x[edge[1]]-x[edge[2]])
| edge in edges ];
I := ideal(VerticesEq) + ideal(EdgesEq) + ideal(x[1]-1, x[2]);
ReducedGBasis(I);
[x[2], x[1] -1, x[3] +1, x[4] -1, x[6], x[5] +1]
A megoldás azt mutatja, hogy a fenti térképhez van megfelelõ színezés.
Például ha 0 kék, 1 piros és -1 zöld, akkor az eredmény
[1. ország = piros; 2. ország = kék; 3. ország = zöld;
4. ország = piros; 5. ország = zöld; 6. ország = kék]
Heron-képlet
Kifejezhetõ a háromszög területe három oldalának hosszával?
use QQ[x[1..2],y,a,b,c,s];
A := [x[1], 0];
B := [x[2], 0];
C := [ 0, y];
Hp := ideal(a^2 - (x[2]^2+y^2), b^2 - (x[1]^2+y^2),
c - (x[2]-x[1]), 2*s - c*y);
E := elim(x[1]..y, Hp);
f := monic(gens(E)[1]);
f;
a^4 -2*a^2*b^2 +b^4 -2*a^2*c^2 -2*b^2*c^2 +c^4 +16*s^2
factor(f - 16*s^2);
record[
RemainingFactor := 1,
factors := [a +b -c, a -b +c, a +b +c, a -b -c],
multiplicities := [1, 1, 1, 1]
]
Azt kaptuk, hogy
s^2 = -(1/16)(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(a-b-c).
Ezek szerint az a, b, c oldalhosszú háromszög területe
p(p-a)(p-b)(p-c), ahol p = 1/2(a+b+c) a kerület fele.
Written by Bálint Felszeghy
Please send comments or suggestions to cocoa(at)dima.unige.it
Last Update: 20 November 2018