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CoCoA System
Computations in
Commutative
Algebra
O que é CoCoA?
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- CoCoA é um programa que calcula com números e
polinômios; .
- É grátis.
- Funciona em diferentes sistemas operativos.
- É utilizado por muitos pesquisadores em todo o mundo, mas
pode ser útil também para fazer "simples" cálculos
de Álgebra.
O que se pode calcular com CoCoA?
Inteiros muito grandes
O maior "inteiro máquina" que um
computador de 32 bits pode calcular é 2^32-1, porém
CoCoA, utilizando a poderosa biblioteca de cálculo a
precisão arbitrária GMP, pode calcular números
tão grandes quanto 2^300000: experimentem!
2^32-1;
4294967295
2^64-1;
18446744073709551615
Números Racionais
CoCoA é muito preciso com as
frações : nunca as aproxima! Assim 1/3 é
diferente de 0.3333333333333
(1/3) * 3;
1
0.3333333333333 * 3;
9999999999999/10000000000000
Polinômios
CoCoA é especializado em polinômios: pode
multiplica-los, dividi-los, fatora-los, ....
(x-y)^2 * (x^4-4*z^4) / (x^2+2*z^2);
x^4 -2*x^3*y +x^2*y^2 -2*x^2*z^2 +4*x*y*z^2 -2*y^2*z^2
Factor(x^4 -2*x^3*y +x^2*y^2 -2*x^2*z^2 +4*x*y*z^2 -2*y^2*z^2);
record[
RemainingFactor := 1,
factors := [x^2 -2*z^2, x -y],
multiplicities := [1, 2]]
]
Sistemas de equações lineares
CoCoA pode resolver sistemas de
equações lineares, é suficiente escrever cada
equação do tipo
f = c
na forma
f -
c
. Pode resolver também sistemas de
equações não lineares, porém é um
pouco mais difícil e falaremos depois. Resolveremos agora :
System := ideal(x-y+z-2, 3*x-z+6, x+y-1);
ReducedGBasis(System);
[x +3/5, y -8/5, z -21/5]
Assim a solução é
(z=21/5, x=-3/5, y=8/5).
Soluções inteiras não negativas
É possível encontrar ternas de inteiros
não negativos soluções do seguinte sistema?
3x - 4y + 7z | =2 |
2x - 2y + 5z | =10 |
M := mat([[3, -4, 7, -2], [2, -2, 5, -10]]);
H := HilbertBasisKer(M);
L := [h In H | h[4] <= 1];
L;
[[0, 10, 6, 1], [6, 11, 4, 1], [12, 12, 2, 1], [18, 13, 0, 1]]
A interpretação é que existem justamente quatro soluções:
(0, 10, 6), (6, 11, 4), (12, 12, 2), (18, 13, 0).
Quem está mentindo?
A diz: "B mente."
B diz: "C mente."
C diz: "A e B mentem."
Então, quem está mentindo?
Para responder esta pergunta codificamos VERDADEIRO com 1 e FALSO com 0
em
ZZ/(2):
use ZZ/(2)[a,b,c];
I1 := ideal(a, b-1);
I2 := ideal(a-1, b);
A := intersect(I1, I2);
I3 := ideal(b, c-1);
I4 := ideal(b-1, c);
B := intersect(I3, I4);
I5 := ideal(a, b, c-1);
I6 := ideal(b-1, a, c);
I7 := ideal(b, a-1, c);
I8 := ideal(b-1, a-1, c);
C := IntersectList([I5, I6, I7, I8]);
ReducedGBasis(A + B + C);
[b +1, a, c]
A única solução é
que A e C mentem, e que B diz a verdade.
Pintando um mapa geografico
É possível pintar as regiões de um
mapa usando somente três cores de modo que duas regiões vizinhas
não partilhem a mesma cor?
use P ::= ZZ/(3)[x[1..6]];
define F(X) return X*(X-1)*(X+1); enddefine;
VerticesEq := [ F(x[i]) | i in 1..6 ];
edges := [[1,2],[1,3], [2,3],[2,4],[2,5], [3,4],[3,6],
[4,5],[4,6], [5,6]];
EdgesEq := [ (F(x[edge[1]])-F(x[edge[2]]))/(x[edge[1]]-x[edge[2]])
| edge in edges ];
I := ideal(VerticesEq) + ideal(EdgesEq) + ideal(x[1]-1, x[2]);
ReducedGBasis(I);
[x[2], x[1] -1, x[3] +1, x[4] -1, x[6], x[5] +1]
O resultado se interpreta do seguinte modo : as
variáveis x[1], x[2],..., x[6] representam as regiões e os
números -1, 0, 1 identificam as cores. CoCoA encontra uma
coloração possível: cor 0 para a região 2, cor 1
para a região 1,..., cor -1 para a região 5. Por exemplo, se
associamos a 0 a cor azul, a 1 a cor vermelha e a -1 a cor verde, obtemos:
Fórmula de Heron
É possível exprimir a área de um
triângulo em função do comprimento dos seus lados?
use QQ[x[1..2],y,a,b,c,s];
A := [x[1], 0];
B := [x[2], 0];
C := [ 0, y];
Hp := ideal(a^2 - (x[2]^2+y^2), b^2 - (x[1]^2+y^2),
c - (x[2]-x[1]), 2*s - c*y);
E := elim(x[1]..y, Hp);
f := monic(gens(E)[1]);
f;
a^4 -2*a^2*b^2 +b^4 -2*a^2*c^2 -2*b^2*c^2 +c^4 +16*s^2
factor(f - 16*s^2);
record[
RemainingFactor := 1,
factors := [a +b -c, a -b +c, a +b +c, a -b -c],
multiplicities := [1, 1, 1, 1]
]
O resultado se traduz na relação:
s^2 = -(1/16)(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(a-b-c).
Isto significa que o quadrado da área de um triângulo de lados
a,b,c é p(p-a)(p-b)(p-c) onde p = 1/2(a+b+c) representa o
semi-perímetro. Esta é a fórmula de Heron! Então
a área de um triângulo pode ser expressa em função
do comprimento dos seus lados.
Written by Taíse Santiago Costa Oliveira
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Last Update: 20 November 2018