CoCoA System
Computations in Commutative Algebra

CoCoA nedir?

This pages counts visits by visitors



CoCoA ile ne heaplayabiliriz?

  • Cok Buyuk Tam Sayılar
  • Rasyonel Sayılar
  • Polinomalar
  • Lineer Sistemler
  •  
  • Negatif Olmayan Tam Sayı Çözümleri
  • Mantık Örneği
  • Coğrafi Harita Boyama
  • Heron Formülü

  • Cok Buyuk Tam Sayılar

    32-bitlik bir bilgisayarda kullanabileceğiniz en büyük “makine üretimi tam sayı” 2^32 dir, fakat CoCoA’nin güçlü GMP kütüphanesi sayesinde, 2^300000 büyüklüğünde sayılar hesaplayabilirsiniz: deneyin!
    2^32-1; 
    4294967295
    2^64-1; 
    18446744073709551615

    Rasyonel Sayılar

    CoCoA kesirlerde tam sonuç verir: asla yuvarlamaz! Yani 1/3, 0.3333333333333333den oldukça farklıdır.
    (1/3) * 3;
    1
    0.3333333333333 * 3;
    9999999999999/10000000000000

    Polinomalar

    CoCoA polinom hesaplamaları için özelleştirilmiştir: çarpabilir, bölebilir, faktörize edebilir ...
    (x-y)^2 * (x^4-4*z^4) / (x^2+2*z^2);
    x^4 -2*x^3*y +x^2*y^2 -2*x^2*z^2 +4*x*y*z^2 -2*y^2*z^2
    Factor(x^4 -2*x^3*y +x^2*y^2 -2*x^2*z^2 +4*x*y*z^2 -2*y^2*z^2);
    Record[
      Exponents := [1, 2],
      Factors := [x^2 -2*z^2, x -y],
      RemainingFactor := 1
    ]

    Lineer Sistemler

    CoCoA lineer sistemleri çözebilir. f = c eşitliğini şu haldeki f – c polinom şeklinde yazmak yeterlidir. CoCoA polinom sistemlerini çözebilir , fakat daha sonrada göreceğimiz gibi bu biraz zordur. Şimdi alttaki sistemi çözelim.
    x-y+z=2
    3x-z=-6
    x+y=1
    System := Ideal(x-y+z-2, 3*x-z+6, x+y-1);
    ReducedGBasis(System);
    [z - 21/5, x + 3/5, y - 8/5]
    Sonuç (z=21/5, x=-3/5, y=8/5).

    Negatif Olmayan Tam Sayı Çözümleri

    Aşağıdaki sistemde, non-negatif (negatif olmayan) üçlü tam sayı çözümleri bulabilir misiniz?
    3x - 4y + 7z=2
    2x - 2y + 5z=10
    M := Mat([[3, -4, 7, -2], [2, -2, 5, -10]]);
    H := HilbertBasis(M);
    L := [A In H | A[4] <= 1];
    L;
    [[0, 10, 6, 1], [6, 11, 4, 1], [12, 12, 2, 1], [18, 13, 0, 1]]
    Sonuçta sadece dört çözüm vardır: (0, 10, 6), (6, 11, 4), (12, 12, 2), (18, 13, 0).

    Mantık Örneği

    A der ki: "B yalan söylüyor."
    B der ki: "C yalan söylüyor."
    C der ki: "A ve B yalan söylüyorlar."
    O halde burada kim yalan söylüor?
    Bu soruya cevap vermek için, ZZ/(2) de , DOĞRU’yu (TRUE) 1 ile ve YANLIŞ’ı ( FALSE) 0 ile kodluyoruz ZZ/(2):
    Use ZZ/(2)[a,b,c];
    I1 := Ideal(a, b-1);
    I2 := Ideal(a-1, b);
    A := Intersection(I1, I2);
    I3 := Ideal(b, c-1);
    I4 := Ideal(b-1, c);
    B := Intersection(I3, I4);
    I5 := Ideal(a, b, c-1);
    I6 := Ideal(b-1, a, c);
    I7 := Ideal(b, a-1, c);
    I8 := Ideal(b-1, a-1, c);
    C := Intersection(I5, I6, I7, I8);
    ReducedGBasis(A + B + C);
    [a, b+1, c]
    Sonuçta, tek çözüm A ve C nin yalan B nin doğru söylediğidir.

    Coğrafi Harita Boyama

    Birbirine komşu iki ülke aynı renkte olmayacak şekilde herhangi bir harita üzerindeki ülkeler üç renk ile boyanabilir mi?

    Use P ::= ZZ/(3)[x[1..6]];
    Define F(X)  Return X*(X-1)*(X+1);  EndDefine;
    VerticesEq := [ F(x[I]) | I In 1..6 ];
    Edges := [[1,2],[1,3],[2,3], [2,4], [2,5], [3,4], [3,6],
                [4,5], [4,6], [5,6]];
    EdgesEq := [ (F(x[A[1]])-F(x[A[2]]))/(x[A[1]]-x[A[2]])
                      |  A In Edges ];
    I := Ideal(VerticesEq) + Ideal(EdgesEq) + Ideal(x[1]-1, x[2]);
    ReducedGBasis(I);
    [x[2], x[1] - 1, x[3] + 1, x[4] - 1, x[6], x[5] + 1]
    Gerçekten bu duruma uygun bir boyama mevcuttur: Mesela , eğer 0 maviyi, 1 kırmızıyı ve -1 yeşili temsil ederse, [ülke1=kırmızı; ülke2=mavi; ülke3=yeşil;ülke4=kırmızı;ülke5=yeşil; ülke6=mavi] şeklinde bir çözüm elde ederiz.


    Heron Formülü

    Bir üçgenin alanını kenarlarının uzunluğu şeklinde ifade etmek mümkün müdür?

    Use QQ[x[1..2],y,a,b,c,s];
    A := [x[1], 0];
    B := [x[2], 0];
    C := [ 0,   y];
    Hp := Ideal(a^2 - (x[2]^2+y^2),  b^2 - (x[1]^2+y^2),
                c   - (x[2]-x[1]),   2*s - c*y);
    E := Elim(x[1]..y,Hp);
    F := Monic(Comp(Gens(E),1));
    F;
    a^4 -2*a^2*b^2 +b^4 -2*a^2*c^2 -2*b^2*c^2 +c^4 +16*s^2
    Factor(F - 16*s^2);
    [[a + b + c, 1], [a + b - c, 1], [a - b + c, 1], [a - b - c, 1]]
    Elimizde
    s^2 = -(1/16)(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(a-b-c).
    Bu kenarları a,b,c olan ve p=1/2(a+b+C) yarı-çevreyi temsil ettiği durumda, üçgenin alanının karesi p(p-a)(p-b)(p-c) dir. O halde cevap,EVET dir.

    Written by Bilge Şipal
    Please send comments or suggestions to cocoa(at)dima.unige.it
    Last Update: 19 September 2011