Ce este CoCoA?

Numere întregi foarte mari

Cel mai mare "întreg-maşină" care se foloseşte pe un computer de 32 biţi este 2^32-1, dar CoCoA poate calcula numere de mărimea 2^300000, graţie puterii bibliotecii GMP. Încercaţi!

2^32-1;

4294967295

2^64-1;

18446744073709551615

Numere raţionale

Programul CoCoA este foarte precis când se lucrează cu fracţii: el nu le aproximează niciodată! Astfel 1/3 este foarte diferit de 0.3333333333333 .

(1/3) * 3;

0.3333333333333 * 3;

9999999999999/10000000000000

Polinoame

Programul CoCoA este specializat în calcule cu polinoame: el poate multiplica, divide, factoriza,...

(x-y)^2 * (x^4-4*z^4) / (x^2+2*z^2);

x^4 -2*x^3*y +x^2*y^2 -2*x^2*z^2 +4*x*y*z^2 -2*y^2*z^2

Factor(x^4 -2*x^3*y +x^2*y^2 -2*x^2*z^2 +4*x*y*z^2 -2*y^2*z^2);

Record[
  Exponents := [1, 2],
  Factors := [x^2 -2*z^2, x -y],
  RemainingFactor := 1
]

Sisteme liniare

Programul CoCoA poate rezolva sisteme liniare. Este suficient să scrieţi fiecare ecuaţie f = c ca polinomul

f -
   c

. Programul CoCoA poate rezolva de asemenea sisteme neliniare, dar aceasta este ceva mai dificil, după cum vom vedea mai tâziu. Acum sa rezolvăm sistemul

x-y+z	=2
3x-z	=-6
x+y	=1

System := Ideal(x-y+z-2, 3*x-z+6, x+y-1);
ReducedGBasis(System);

[z - 21/5, x + 3/5, y - 8/5]

Deci soluţia este (z=21/5, x=-3/5, y=8/5)

Soluţii întregi ne-negative

Determinaţi toate tripletele de soluţii de întregi ne-negative ale următorului sistem:

3x - 4y + 7z	=2
2x - 2y + 5z	=10

M := Mat([[3, -4, 7, -2], [2, -2, 5, -10]]);
H := HilbertBasis(M);
L := [A In H | A[4] <= 1];
L;

[[0, 10, 6, 1], [6, 11, 4, 1], [12, 12, 2, 1], [18, 13, 0, 1]]

Deci există numai următoarele patru soluţii: (0, 10, 6), (6, 11, 4), (12, 12, 2), (18, 13, 0).

Exemplu logic

A zice: "B minte."
B zice: "C minte."
C zice: "A şi B mint."
Deci, cine este mincinosul?
Ca să răspundem la această întrebare codificăm ADEVARAT cu 1 şi FALS cu 0 în ZZ/(2):

Use ZZ/(2)[a,b,c];
I1 := Ideal(a, b-1);
I2 := Ideal(a-1, b);
A := Intersection(I1, I2);
I3 := Ideal(b, c-1);
I4 := Ideal(b-1, c);
B := Intersection(I3, I4);
I5 := Ideal(a, b, c-1);
I6 := Ideal(b-1, a, c);
I7 := Ideal(b, a-1, c);
I8 := Ideal(b-1, a-1, c);
C := Intersection(I5, I6, I7, I8);
ReducedGBasis(A + B + C);

[a, b+1, c]

Unica soluţie este că A şi C mint, iar B zice adevărul.

Harta geografică în culori

Pot ţările de pe următoarea hartă să fie colorate cu trei culori astfel încât nici-o pereche de ţări adiacente să aibă aceeaşi culoare?

Use P ::= ZZ/(3)[x[1..6]];
Define F(X)  Return X*(X-1)*(X+1);  EndDefine;
VerticesEq := [ F(x[I]) | I In 1..6 ];
Edges := [[1,2],[1,3],[2,3], [2,4], [2,5], [3,4], [3,6],
            [4,5], [4,6], [5,6]];
EdgesEq := [ (F(x[A[1]])-F(x[A[2]]))/(x[A[1]]-x[A[2]])
                  |  A In Edges ];
I := Ideal(VerticesEq) + Ideal(EdgesEq) + Ideal(x[1]-1, x[2]);
ReducedGBasis(I);

[x[2], x[1] - 1, x[3] + 1, x[4] - 1, x[6], x[5] + 1]

Interpretarea rezultatului este că există o asemenea colorare în acest caz. De exemplu, dacă 0 înseamnă albastru, 1 înseamnă roşu şi -1 înseamnă verde, obţinem [ţara 1 = roşu; ţara 2 = albastru; ţara 3 = verde; ţara 4 = roşu; ţara 5 = verde; ţara 6 = albastru]

Formula lui Heron

Este posibil să exprimăm aria unui triunghi ca funcţie de lungimea laturilor?

Use QQ[x[1..2],y,a,b,c,s];
A := [x[1], 0];
B := [x[2], 0];
C := [ 0,   y];
Hp := Ideal(a^2 - (x[2]^2+y^2),  b^2 - (x[1]^2+y^2),
            c   - (x[2]-x[1]),   2*s - c*y);
E := Elim(x[1]..y,Hp);
F := Monic(Comp(Gens(E),1));
F;

a^4 -2*a^2*b^2 +b^4 -2*a^2*c^2 -2*b^2*c^2 +c^4 +16*s^2

Factor(F - 16*s^2);

[[a + b + c, 1], [a + b - c, 1], [a - b + c, 1], [a - b - c, 1]]

Obţinem deci: s^2 = -(1/16)(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(a-b-c). Altfel spus, pătratul ariei unui triunghi de laturi a, b, c este p(p-a)(p-b)(p-c) unde p = 1/2(a+b+c) este semiperimetrul. Deci răspunsul este DA.