CoCoA System
Computations in Commutative Algebra

O que é CoCoA?

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O que se pode calcular com CoCoA?

  • Inteiros muito grandes
  • Números Racionais
  • Polinômios
  • Sistemas de equações lineares
  •  
  • Soluções inteiras não negativas
  • Quem está mentindo?
  • Pintando um mapa geografico
  • Fórmula de Heron

  • Inteiros muito grandes

    O maior "inteiro máquina" que um computador de 32 bits pode calcular é 2^32-1, porém CoCoA, utilizando a poderosa biblioteca de cálculo a precisão arbitrária GMP, pode calcular números tão grandes quanto 2^300000: experimentem!
    2^32-1; 
    4294967295
    2^64-1; 
    18446744073709551615

    Números Racionais

    CoCoA é muito preciso com as frações : nunca as aproxima! Assim 1/3 é diferente de 0.3333333333333
    (1/3) * 3;
    1
    0.3333333333333 * 3;
    9999999999999/10000000000000

    Polinômios

    CoCoA é especializado em polinômios: pode multiplica-los, dividi-los, fatora-los, ....
    (x-y)^2 * (x^4-4*z^4) / (x^2+2*z^2);
    x^4 -2*x^3*y +x^2*y^2 -2*x^2*z^2 +4*x*y*z^2 -2*y^2*z^2
    Factor(x^4 -2*x^3*y +x^2*y^2 -2*x^2*z^2 +4*x*y*z^2 -2*y^2*z^2);
    Record[
      Exponents := [1, 2],
      Factors := [x^2 -2*z^2, x -y],
      RemainingFactor := 1
    ]

    Sistemas de equações lineares

    CoCoA pode resolver sistemas de equações lineares, é suficiente escrever cada equação do tipo f = c na forma f - c. Pode resolver também sistemas de equações não lineares, porém é um pouco mais difícil e falaremos depois. Resolveremos agora :
    x-y+z=2
    3x-z=-6
    x+y=1
    System := Ideal(x-y+z-2, 3*x-z+6, x+y-1);
    ReducedGBasis(System);
    [z - 21/5, x + 3/5, y - 8/5]
    Assim a solução é (z=21/5, x=-3/5, y=8/5).

    Soluções inteiras não negativas

    É possível encontrar ternas de inteiros não negativos soluções do seguinte sistema?
    3x - 4y + 7z=2
    2x - 2y + 5z=10
    M := Mat([[3, -4, 7, -2], [2, -2, 5, -10]]);
    H := HilbertBasis(M);
    L := [A In H | A[4] <= 1];
    L;
    [[0, 10, 6, 1], [6, 11, 4, 1], [12, 12, 2, 1], [18, 13, 0, 1]]
    A interpretação é que existem justamente quatro soluções: (0, 10, 6), (6, 11, 4), (12, 12, 2), (18, 13, 0).

    Quem está mentindo?

    A diz: "B mente."
    B diz: "C mente."
    C diz: "A e B mentem."
    Então, quem está mentindo?
    Para responder esta pergunta codificamos VERDADEIRO com 1 e FALSO com 0 em ZZ/(2):
    Use ZZ/(2)[a,b,c];
    I1 := Ideal(a, b-1);
    I2 := Ideal(a-1, b);
    A := Intersection(I1, I2);
    I3 := Ideal(b, c-1);
    I4 := Ideal(b-1, c);
    B := Intersection(I3, I4);
    I5 := Ideal(a, b, c-1);
    I6 := Ideal(b-1, a, c);
    I7 := Ideal(b, a-1, c);
    I8 := Ideal(b-1, a-1, c);
    C := Intersection(I5, I6, I7, I8);
    ReducedGBasis(A + B + C);
    [a, b+1, c]
    A única solução é que A e C mentem, e que B diz a verdade.

    Pintando um mapa geografico

    É possível pintar as regiões de um mapa usando somente três cores de modo que duas regiões vizinhas não partilhem a mesma cor?

    Use P ::= ZZ/(3)[x[1..6]];
    Define F(X)  Return X*(X-1)*(X+1);  EndDefine;
    VerticesEq := [ F(x[I]) | I In 1..6 ];
    Edges := [[1,2],[1,3],[2,3], [2,4], [2,5], [3,4], [3,6],
                [4,5], [4,6], [5,6]];
    EdgesEq := [ (F(x[A[1]])-F(x[A[2]]))/(x[A[1]]-x[A[2]])
                      |  A In Edges ];
    I := Ideal(VerticesEq) + Ideal(EdgesEq) + Ideal(x[1]-1, x[2]);
    ReducedGBasis(I);
    [x[2], x[1] - 1, x[3] + 1, x[4] - 1, x[6], x[5] + 1]
    O resultado se interpreta do seguinte modo : as variáveis x[1], x[2],..., x[6] representam as regiões e os números -1, 0, 1 identificam as cores. CoCoA encontra uma coloração possível: cor 0 para a região 2, cor 1 para a região 1,..., cor -1 para a região 5. Por exemplo, se associamos a 0 a cor azul, a 1 a cor vermelha e a -1 a cor verde, obtemos:


    Fórmula de Heron

    É possível exprimir a área de um triângulo em função do comprimento dos seus lados?

    Use QQ[x[1..2],y,a,b,c,s];
    A := [x[1], 0];
    B := [x[2], 0];
    C := [ 0,   y];
    Hp := Ideal(a^2 - (x[2]^2+y^2),  b^2 - (x[1]^2+y^2),
                c   - (x[2]-x[1]),   2*s - c*y);
    E := Elim(x[1]..y,Hp);
    F := Monic(Comp(Gens(E),1));
    F;
    a^4 -2*a^2*b^2 +b^4 -2*a^2*c^2 -2*b^2*c^2 +c^4 +16*s^2
    Factor(F - 16*s^2);
    [[a + b + c, 1], [a + b - c, 1], [a - b + c, 1], [a - b - c, 1]]
    O resultado se traduz na relação:
    s^2 = -(1/16)(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(a-b-c).
    Isto significa que o quadrado da área de um triângulo de lados a,b,c é p(p-a)(p-b)(p-c) onde p = 1/2(a+b+c) representa o semi-perímetro. Esta é a fórmula de Heron! Então a área de um triângulo pode ser expressa em função do comprimento dos seus lados.

    Written by Taíse Santiago Costa Oliveira
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    Last Update: 19 September 2011