CoCoA System
Computations in Commutative Algebra

Mi az a CoCoA?

This pages counts visits by visitors



Mit számolhatunk ki CoCoA-val?

  • Nagyon nagy egész számok
  • Racionális számok
  • Polinomok
  • Lineáris egyenletrendszerek
  •  
  • Nemnegatív egész megoldások
  • Egy logika példa
  • Térkép színezés
  • Heron-képlet

  • Nagyon nagy egész számok

    Egy 32-bites számítógépen a legnagyobb gépi egész 2^32-1, de a GMP könyvtárnak hála, CoCoA-ban egészen 2^300000 nagyságú számokig lehet dolgozni.
    2^32-1; 
    4294967295
    2^64-1; 
    18446744073709551615

    Racionális számok

    CoCoA pontosan kezeli a törteket, sohasem használ közelítést. Így például 1/3 és 0.3333333333333 nem egyenlõek.
    (1/3) * 3;
    1
    0.3333333333333 * 3;
    9999999999999/10000000000000

    Polinomok

    CoCoA elsõsorban polinomokkal kapcsolatos számolások elvégzésére készült. Tud többek között szorozni, osztani, faktorizálni.
    (x-y)^2 * (x^4-4*z^4) / (x^2+2*z^2);
    x^4 -2*x^3*y +x^2*y^2 -2*x^2*z^2 +4*x*y*z^2 -2*y^2*z^2
    Factor(x^4 -2*x^3*y +x^2*y^2 -2*x^2*z^2 +4*x*y*z^2 -2*y^2*z^2);
    Record[
      Exponents := [1, 2],
      Factors := [x^2 -2*z^2, x -y],
      RemainingFactor := 1
    ]

    Lineáris egyenletrendszerek

    CoCoA meg tud oldani lineáris egyenletrendszereket. Az f = c egyenleteket f - c alakban kell megadni. Polinomiális egyenletrendszereket is meg tud oldani, de ez valamivel bonyolultabb, késõbb még vissztérünk rá. Most megoldjuk a következõ rendszert:
    x-y+z=2
    3x-z=-6
    x+y=1
    System := Ideal(x-y+z-2, 3*x-z+6, x+y-1);
    ReducedGBasis(System);
    [z - 21/5, x + 3/5, y - 8/5]
    Ezek szerint a megoldás (z=21/5, x=-3/5, y=8/5).

    Nemnegatív egész megoldások

    Hogyan keressük meg az alábbi egyenlet nemnegatív egész megoldásait?
    3x - 4y + 7z=2
    2x - 2y + 5z=10
    M := Mat([[3, -4, 7, -2], [2, -2, 5, -10]]);
    H := HilbertBasis(M);
    L := [A In H | A[4] <= 1];
    L;
    [[0, 10, 6, 1], [6, 11, 4, 1], [12, 12, 2, 1], [18, 13, 0, 1]]
    A kapott eredmény azt mutatja, hogy pontosan négy megoldás van: (0, 10, 6), (6, 11, 4), (12, 12, 2), (18, 13, 0).

    Egy logika példa

    A azt mondja, hogy B hazudik.
    B azt állítja, hogy C hazudik.
    C szerint A és B is hazudik.
    Akkor most ki mond igazat és ki nem?
    A kérdés megoldása céljából legyen 1 az IGAZ és 0 a HAMIS a ZZ/(2) test felett.
    Use ZZ/(2)[a,b,c];
    I1 := Ideal(a, b-1);
    I2 := Ideal(a-1, b);
    A := Intersection(I1, I2);
    I3 := Ideal(b, c-1);
    I4 := Ideal(b-1, c);
    B := Intersection(I3, I4);
    I5 := Ideal(a, b, c-1);
    I6 := Ideal(b-1, a, c);
    I7 := Ideal(b, a-1, c);
    I8 := Ideal(b-1, a-1, c);
    C := Intersection(I5, I6, I7, I8);
    ReducedGBasis(A + B + C);
    [a, b+1, c]
    Egyetlen megoldása van az egyenletrendszernek. A megoldás azt mutatja, hogy A és C hazudik, B igazat mond.

    Térkép színezés

    Kiszínezhetõek az alábbi térképen az országok úgy, hogy bármely két szomszédos ország különbözõ színû legyen?

    Use P ::= ZZ/(3)[x[1..6]];
    Define F(X)  Return X*(X-1)*(X+1);  EndDefine;
    VerticesEq := [ F(x[I]) | I In 1..6 ];
    Edges := [[1,2],[1,3],[2,3], [2,4], [2,5], [3,4], [3,6],
                [4,5], [4,6], [5,6]];
    EdgesEq := [ (F(x[A[1]])-F(x[A[2]]))/(x[A[1]]-x[A[2]])
                      |  A In Edges ];
    I := Ideal(VerticesEq) + Ideal(EdgesEq) + Ideal(x[1]-1, x[2]);
    ReducedGBasis(I);
    [x[2], x[1] - 1, x[3] + 1, x[4] - 1, x[6], x[5] + 1]
    A megoldás azt mutatja, hogy a fenti térképhez van megfelelõ színezés. Például ha 0 kék, 1 piros és -1 zöld, akkor az eredmény [1. ország = piros; 2. ország = kék; 3. ország = zöld; 4. ország = piros; 5. ország = zöld; 6. ország = kék]


    Heron-képlet

    Kifejezhetõ a háromszög területe három oldalának hosszával?

    Use QQ[x[1..2],y,a,b,c,s];
    A := [x[1], 0];
    B := [x[2], 0];
    C := [ 0,   y];
    Hp := Ideal(a^2 - (x[2]^2+y^2),  b^2 - (x[1]^2+y^2),
                c   - (x[2]-x[1]),   2*s - c*y);
    E := Elim(x[1]..y,Hp);
    F := Monic(Comp(Gens(E),1));
    F;
    a^4 -2*a^2*b^2 +b^4 -2*a^2*c^2 -2*b^2*c^2 +c^4 +16*s^2
    Factor(F - 16*s^2);
    [[a + b + c, 1], [a + b - c, 1], [a - b + c, 1], [a - b - c, 1]]
    Azt kaptuk, hogy
    s^2 = -(1/16)(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(a-b-c).
    Ezek szerint az a, b, c oldalhosszú háromszög területe p(p-a)(p-b)(p-c), ahol p = 1/2(a+b+c) a kerület fele.

    Written by Bálint Felszeghy
    Please send comments or suggestions to cocoa(at)dima.unige.it
    Last Update: 19 September 2011