CoCoA System
Computations in Commutative Algebra

Τι είναι το CoCoA;

This pages counts visits by visitors



Τι μπορεί να υπολογιστεί στο CoCoA ;

  • Πολύ Μεγάλοι Ακέραιοι
  • Ρητοί Αριθμοί
  • Πολυώνυμα
  • Γραμμικά Συστήματα
  •  
  • Μη αρνητικές Ακέραιες Λύσεις
  • Παράδειγμα Λογικής
  • Χρωματισμός Γεωγραφικού Χάρτη
  • Ο τύπος του Ήρωνα

  • Πολύ Μεγάλοι Ακέραιοι

    Ο μεγαλύτερος "αριθμός μηχανής" που μπορείτε να χρησιμοποιήσετε σε έναν 32-bit υπολογιστή είναι 2^32-1, αλλά το CoCoA, χάρη στην ισχυρή βιβλιοθήκη GMP, μπορεί να υπολογίσει ακόμα και το 2^300000: δοκιμάστε το!
    2^32-1; 
    4294967295
    2^64-1; 
    18446744073709551615

    Ρητοί Αριθμοί

    Το CoCoA είναι πολύ ακριβές με κλάσματα: δεν κάνει ποτέ προσεγγίσεις! Έτσι το 1/3 είναι αρκετά διαφορετικό από το 0.3333333333333
    (1/3) * 3;
    1
    0.3333333333333 * 3;
    9999999999999/10000000000000

    Πολυώνυμα

    Το CoCoA είναι εξειδικευμένο σε υπολογισμούς με πολυώνυμα: πολλαπλασιάζει, διαιρεί, παραγοντοποιεί, ...
    (x-y)^2 * (x^4-4*z^4) / (x^2+2*z^2);
    x^4 -2*x^3*y +x^2*y^2 -2*x^2*z^2 +4*x*y*z^2 -2*y^2*z^2
    Factor(x^4 -2*x^3*y +x^2*y^2 -2*x^2*z^2 +4*x*y*z^2 -2*y^2*z^2);
    Record[
      Exponents := [1, 2],
      Factors := [x^2 -2*z^2, x -y],
      RemainingFactor := 1
    ]

    Γραμμικά Συστήματα

    Το CoCoA μπορεί να λύσει γραμμικά συστήματα. Απλώς πρέπει να γράψετε κάθε εξίσωση f = c σαν το πολυώνυμο f - c. Το CoCoA μπορεί επίσης να λύσει συστήματα πολυωνύμων, αλλά αυτό είναι λίγο δυσκολότερο και θα το δούμε αργότερα. Τώρα λύνουμε:
    x-y+z=2
    3x-z=-6
    x+y=1
    System := Ideal(x-y+z-2, 3*x-z+6, x+y-1);
    ReducedGBasis(System);
    [z - 21/5, x + 3/5, y - 8/5]
    Άρα η λύση είναι (z=21/5, x=-3/5, y=8/5)

    Μη αρνητικές Ακέραιες Λύσεις

    Μπορείτε να βρείτε όλες τις τριάδες μη-αρνητικών ακέραιων λύσεων του παρακάτω συστήματος;
    3x - 4y + 7z=2
    2x - 2y + 5z=10
    M := Mat([[3, -4, 7, -2], [2, -2, 5, -10]]);
    H := HilbertBasis(M);
    L := [A In H | A[4] <= 1];
    L;
    [[0, 10, 6, 1], [6, 11, 4, 1], [12, 12, 2, 1], [18, 13, 0, 1]]
    Η ερμηνεία είναι ότι υπάρχουν μόνο τέσσερις λύσεις: (0, 10, 6), (6, 11, 4), (12, 12, 2), (18, 13, 0).

    Παράδειγμα Λογικής

    Ο Α λέει: "Ο B λέει ψέματα."
    Ο B λέει: "Ο C λέει ψέματα."
    Ο C λέει: "Ο A και ο B λένε ψέματα."
    Ποιος λέει ψέματα τελικά εδώ;
    Για να απαντήσουμε σε αυτήν την ερώτηση κωδικοποιούμε το ΑΛΗΘΕΣ με 1 και το ΨΕΥΔΕΣ με 0 στο σώμα ZZ/(2):
    Use ZZ/(2)[a,b,c];
    I1 := Ideal(a, b-1);
    I2 := Ideal(a-1, b);
    A := Intersection(I1, I2);
    I3 := Ideal(b, c-1);
    I4 := Ideal(b-1, c);
    B := Intersection(I3, I4);
    I5 := Ideal(a, b, c-1);
    I6 := Ideal(b-1, a, c);
    I7 := Ideal(b, a-1, c);
    I8 := Ideal(b-1, a-1, c);
    C := Intersection(I5, I6, I7, I8);
    ReducedGBasis(A + B + C);
    [a, b+1, c]
    Η μοναδική λύση είναι ότι οι A και C έλεγαν ψέματα, και ο B έλεγε αλήθεια.

    Χρωματισμός Γεωγραφικού Χάρτη

    Μπορούν οι χώρες σε ένα χάρτη να χρωματιστούν με τρία χρώματα, έτσι ώστε δυο γειτονικές χώρες να μην έχουν ποτέ το ίδιο χρώμα;

    Use P ::= ZZ/(3)[x[1..6]];
    Define F(X)  Return X*(X-1)*(X+1);  EndDefine;
    VerticesEq := [ F(x[I]) | I In 1..6 ];
    Edges := [[1,2],[1,3],[2,3], [2,4], [2,5], [3,4], [3,6],
                [4,5], [4,6], [5,6]];
    EdgesEq := [ (F(x[A[1]])-F(x[A[2]]))/(x[A[1]]-x[A[2]])
                      |  A In Edges ];
    I := Ideal(VerticesEq) + Ideal(EdgesEq) + Ideal(x[1]-1, x[2]);
    ReducedGBasis(I);
    [x[2], x[1] - 1, x[3] + 1, x[4] - 1, x[6], x[5] + 1]
    Η ερμηνεία είναι ότι υπάρχει πράγματι ένας χρωματισμός σε αυτήν την περίπτωση. Για παράδειγμα, αν 0 σημαίνει μπλέ, 1 σημαίνει κόκκινο, και -1 σημαίνει πράσινο, παίρνουμε [χώρα 1 = κόκκινο, χώρα 2 = μπλέ, χώρα 3 = πράσινο, χώρα 4 = κόκκινο, χώρα 5 = πράσινο, χώρα 6 = μπλέ]


    Ο τύπος του Ήρωνα

    Μπορεί το εμβαδό ενός τριγώνου να εκφραστεί σα συνάρτηση του μήκους των πλευρών του;

    Use QQ[x[1..2],y,a,b,c,s];
    A := [x[1], 0];
    B := [x[2], 0];
    C := [ 0,   y];
    Hp := Ideal(a^2 - (x[2]^2+y^2),  b^2 - (x[1]^2+y^2),
                c   - (x[2]-x[1]),   2*s - c*y);
    E := Elim(x[1]..y,Hp);
    F := Monic(Comp(Gens(E),1));
    F;
    a^4 -2*a^2*b^2 +b^4 -2*a^2*c^2 -2*b^2*c^2 +c^4 +16*s^2
    Factor(F - 16*s^2);
    [[a + b + c, 1], [a + b - c, 1], [a - b + c, 1], [a - b - c, 1]]
    Η ερμηνεία είναι ότι ισχύει
    s^2 = -(1/16)(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(a-b-c).
    Αυτό σημαίνει ότι το τετράγωνο του εμβαδού του τριγώνου με πλευρές a, b, c είναι p(p-a)(p-b)(p-c) όπου p = 1/2(a+b+c) η ημιπερίμετρος. Άρα η απάντηση είναι ΝΑΙ.

    Written by Angelos Mantzaflaris
    Please send comments or suggestions to cocoa(at)dima.unige.it
    Last Update: 19 September 2011