CoCoA System
Computations in Commutative Algebra

Was ist CoCoA?

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Was kann man mit CoCoA berechnen?

  • Sehr große ganze Zahlen
  • Rationale Zahlen
  • Polynome
  • Lineare Gleichungssysteme
  •  
  • Nicht-negative ganzzahlige Lösungen
  • Ein Logik-Rätsel
  • Färben von Landkarten
  • Die Formel von Heron

  • Sehr große ganze Zahlen

    Die größte ganze Zahl, die ein 32-Bit-Computer üblicherweise verwenden kann, ist 2^32-1. CoCoA hingegen kann dank der leistungsfähigen GMP-Bibliothek sogar Zahlen wie 2^300000 berechnen - Probieren Sie es aus!
    2^32-1; 
    4294967295
    2^64-1; 
    18446744073709551615

    Rationale Zahlen

    CoCoA rechnet exakt mit Brüchen - es verwendet niemals Näherungen! Also ist auch für CoCoA 1/3 wesentlich verschieden von 0.3333333333333
    (1/3) * 3;
    1
    0.3333333333333 * 3;
    9999999999999/10000000000000

    Polynome

    CoCoA ist spezialisiert auf Rechnungen mit Polynomen: Es kann diese multiplizieren, dividieren, faktorisieren, ...
    (x-y)^2 * (x^4-4*z^4) / (x^2+2*z^2);
    x^4 -2*x^3*y +x^2*y^2 -2*x^2*z^2 +4*x*y*z^2 -2*y^2*z^2
    Factor(x^4 -2*x^3*y +x^2*y^2 -2*x^2*z^2 +4*x*y*z^2 -2*y^2*z^2);
    Record[
      Exponents := [1, 2],
      Factors := [x^2 -2*z^2, x -y],
      RemainingFactor := 1
    ]

    Lineare Gleichungssysteme

    CoCoA kann lineare Gleichungssysteme lösen. Dazu muss man lediglich jede Gleichung f = c als ein Polynom f - c schreiben. CoCoA kann auch polynomiale Gleichungssysteme lö. Allerdings ist das etwas schwieriger und wir werden es erst später betrachten. Jetzt lösen wir
    x-y+z=2
    3x-z=-6
    x+y=1
    System := Ideal(x-y+z-2, 3*x-z+6, x+y-1);
    ReducedGBasis(System);
    [z - 21/5, x + 3/5, y - 8/5]
    Damit lautet die Lösung (z=21/5, x=-3/5, y=8/5)

    Nicht-negative ganzzahlige Lösungen

    Können Sie die nicht-negativen ganzzahligen Lösungen des folgenden Gleichungssystems angeben?
    3x - 4y + 7z=2
    2x - 2y + 5z=10
    M := Mat([[3, -4, 7, -2], [2, -2, 5, -10]]);
    H := HilbertBasis(M);
    L := [A In H | A[4] <= 1];
    L;
    [[0, 10, 6, 1], [6, 11, 4, 1], [12, 12, 2, 1], [18, 13, 0, 1]]
    Das bedeutet, die Lösungen sind: (0, 10, 6), (6, 11, 4), (12, 12, 2), (18, 13, 0).

    Ein Logik-Rätsel

    A sagt: "B lügt."
    B sagt: "C lügt."
    C sagt: "A und B lügen."
    Wer lügt denn nun wirklich?
    Um diese Frage zu beantworten, repräsentieren wir WAHR durch 1 und FALSCH durch 0 in ZZ/(2):
    Use ZZ/(2)[a,b,c];
    I1 := Ideal(a, b-1);
    I2 := Ideal(a-1, b);
    A := Intersection(I1, I2);
    I3 := Ideal(b, c-1);
    I4 := Ideal(b-1, c);
    B := Intersection(I3, I4);
    I5 := Ideal(a, b, c-1);
    I6 := Ideal(b-1, a, c);
    I7 := Ideal(b, a-1, c);
    I8 := Ideal(b-1, a-1, c);
    C := Intersection(I5, I6, I7, I8);
    ReducedGBasis(A + B + C);
    [a, b+1, c]
    Die einzige Lösung lautet: A und C haben gelogen, während B die Wahrheit sagte.

    Färben von Landkarten

    Kann man die Länder einer Landkarte so mit drei Farben färben, dass je zwei Nachbarländer verschieden gefärbt sind?

    Use P ::= ZZ/(3)[x[1..6]];
    Define F(X)  Return X*(X-1)*(X+1);  EndDefine;
    VerticesEq := [ F(x[I]) | I In 1..6 ];
    Edges := [[1,2],[1,3],[2,3], [2,4], [2,5], [3,4], [3,6],
                [4,5], [4,6], [5,6]];
    EdgesEq := [ (F(x[A[1]])-F(x[A[2]]))/(x[A[1]]-x[A[2]])
                      |  A In Edges ];
    I := Ideal(VerticesEq) + Ideal(EdgesEq) + Ideal(x[1]-1, x[2]);
    ReducedGBasis(I);
    [x[2], x[1] - 1, x[3] + 1, x[4] - 1, x[6], x[5] + 1]
    Das bedeutet, dass es im vorliegenden Beispiel tatsächlich eine Färbung gibt. Zum Beispiel, stehe 0 für blau, 1 für rot, und -1 für grün; dann erhält man die Färbung [Land 1 = rot; Land 2 = blau; Land 3 = grün; Land 4 = rot; Land 5 = grün; Land 6 = blau]


    Die Formel von Heron

    Kann man den Flächeninhalt eines Dreiecks als Formel in Abhängigkeit von den Seitenlängen angeben?

    Use QQ[x[1..2],y,a,b,c,s];
    A := [x[1], 0];
    B := [x[2], 0];
    C := [ 0,   y];
    Hp := Ideal(a^2 - (x[2]^2+y^2),  b^2 - (x[1]^2+y^2),
                c   - (x[2]-x[1]),   2*s - c*y);
    E := Elim(x[1]..y,Hp);
    F := Monic(Comp(Gens(E),1));
    F;
    a^4 -2*a^2*b^2 +b^4 -2*a^2*c^2 -2*b^2*c^2 +c^4 +16*s^2
    Factor(F - 16*s^2);
    [[a + b + c, 1], [a + b - c, 1], [a - b + c, 1], [a - b - c, 1]]
    Das liefert
    s^2 = -(1/16)(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(a-b-c).
    Also ist das Quadrat des Flächeninhalts eines Dreiecks mit Seitenlängen a,b und c gegeben durch p(p-a)(p-b)(p-c), wobei p = 1/2(a+b+c) den halben Umfang des Dreiecks bezeichne. Die Antwort lautet: JA

    Written by Achim Kehrein
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    Last Update: 19 September 2011