CoCoA چیست؟

CoCoA نرم‌افزاریست برای انجام محاسبات با اعداد و چندجمله‌ایها.
به صورت رایگان قابل تهیه است.
با اکثر سیستم عاملها کار میکند.
مورد استفادۀ بسیاری از محققان، و حتی مناسب برای محاسبات ساده میباشد.

اعداد صحیح خیلی بزرگ

بزرگترین "عدد صحیح ماشینی" که میتوان روی یک کامپیوتر 32 bit استفاده کرد 2^32-1 است، ولی CoCoA با GMP library قدرتمندش میتواند حتی اعدادی به بزرگی 2^300000 را هم حساب کند: امتحان کنید!

2^32-1;

4294967295

2^64-1;

18446744073709551615

اعداد گویا

CoCoA در محاسبۀ کسور خیلی دقیق است، و هرگز آنها را تخمین نمیزند. بنابر‌این 1/3 کاملاً با 0.3333333333333 متفاوت است.

(1/3) * 3;

0.3333333333333 * 3;

9999999999999/10000000000000

چندجمله‌ایها

CoCoA در ضرب، تقسیم، فاکتورگیری و ... چندجمله‌ایها تخصص دارد.

(x-y)^2 * (x^4-4*z^4) / (x^2+2*z^2);

x^4 -2*x^3*y +x^2*y^2 -2*x^2*z^2 +4*x*y*z^2 -2*y^2*z^2

Factor(x^4 -2*x^3*y +x^2*y^2 -2*x^2*z^2 +4*x*y*z^2 -2*y^2*z^2);

Record[
  Exponents := [1, 2],
  Factors := [x^2 -2*z^2, x -y],
  RemainingFactor := 1
]

سیستمهای خطی

CoCoA میتواند سیستمهای خطی را حل کند. تنها کاری که باید انجام داد نوشتن هر معادله f=c به صورت یک چندجمله‌ای f-c میباشد. علاوه بر این CoCoA میتواند سیستمهای چندجمله‌ای را هم حل کند، ولی این امر کمی مشکلتر است، و بعداً دوباره آنرا خواهیم دید. اکنون سیستم زیر را حل میکنیم.

x-y+z	=2
3x-z	=-6
x+y	=1

System := Ideal(x-y+z-2, 3*x-z+6, x+y-1);
ReducedGBasis(System);

[z - 21/5, x + 3/5, y - 8/5]

بنابر‌این حل x=-3/5, y=8/5, z=21/5 میباشد.

حلهای صحیح نامنفی

آی میتوانید سه حل صحیح نامنفی برای سیستم زیر پیدا کنید؟

3x - 4y + 7z	=2
2x - 2y + 5z	=10

M := Mat([[3, -4, 7, -2], [2, -2, 5, -10]]);
H := HilbertBasis(M);
L := [A In H | A[4] <= 1];
L;

[[0, 10, 6, 1], [6, 11, 4, 1], [12, 12, 2, 1], [18, 13, 0, 1]]

مفهوم سطر آخر این است که فقط چهار حل وجود دارد: (0, 10, 6)، (6, 11, 4)، (12, 12, 2)، (18, 13, 0).

مثالی در منطق

A میگوید: "B دروغ میگوید."
B میگوید: "C دروغ میگوید."
C میگوید: "A و B دروغ میگویند."
بالاخره کدام یکی از آنها دروغ میگویند؟
برای پاسخ به این سوأل بجای TRUE از عدد 1 و بجای FALSE از عدد 0 در ZZ/(2) استفاده میکنیم:

Use ZZ/(2)[a,b,c];
I1 := Ideal(a, b-1);
I2 := Ideal(a-1, b);
A := Intersection(I1, I2);
I3 := Ideal(b, c-1);
I4 := Ideal(b-1, c);
B := Intersection(I3, I4);
I5 := Ideal(a, b, c-1);
I6 := Ideal(b-1, a, c);
I7 := Ideal(b, a-1, c);
I8 := Ideal(b-1, a-1, c);
C := Intersection(I5, I6, I7, I8);
ReducedGBasis(A + B + C);

[a, b+1, c]

پاسخ منحصر به فرد این سوأل این است که A و C هر دو دروغ میگفتند، و B راست میگفت.

رنگ‌آمیزی نقشه‌های جغرافیایی

آیا میتوان با سه رنگ همۀ کشورهای روی یک نقشه را رنگ زد، به طوری که دو کشور هسایه همرنگ نباشند؟

Use P ::= ZZ/(3)[x[1..6]];
Define F(X)  Return X*(X-1)*(X+1);  EndDefine;
VerticesEq := [ F(x[I]) | I In 1..6 ];
Edges := [[1,2],[1,3],[2,3], [2,4], [2,5], [3,4], [3,6],
            [4,5], [4,6], [5,6]];
EdgesEq := [ (F(x[A[1]])-F(x[A[2]]))/(x[A[1]]-x[A[2]])
                  |  A In Edges ];
I := Ideal(VerticesEq) + Ideal(EdgesEq) + Ideal(x[1]-1, x[2]);
ReducedGBasis(I);

[x[2], x[1] - 1, x[3] + 1, x[4] - 1, x[6], x[5] + 1]

مفهوم سطر آخر این است که یقیناً چنین رنگ‌آمیزی ممکن است. مثلاً اگر 0 نشانگر آبی، 1 نشانگر قرمز، و -1 نشانگر سبز باشد، به نتیجۀ زیر خواهیم ر! سید: کشور 1 = قرمز؛ کشور 2 = آبی؛ کشور 3 = سبز؛ کشور 4 = قرمز؛ کشور 5 = سبز؛ کشور 6 = آبی.

فرمول هران

آیا میتوان مساحت یک مثلث را به صورت تابعی از طول اضلاعش نوشت؟

Use QQ[x[1..2],y,a,b,c,s];
A := [x[1], 0];
B := [x[2], 0];
C := [ 0,   y];
Hp := Ideal(a^2 - (x[2]^2+y^2),  b^2 - (x[1]^2+y^2),
            c   - (x[2]-x[1]),   2*s - c*y);
E := Elim(x[1]..y,Hp);
F := Monic(Comp(Gens(E),1));
F;

a^4 -2*a^2*b^2 +b^4 -2*a^2*c^2 -2*b^2*c^2 +c^4 +16*s^2

Factor(F - 16*s^2);

[[a + b + c, 1], [a + b - c, 1], [a - b + c, 1], [a - b - c, 1]]

مفهوم سطر آخر این است که s^2 = (1/16)(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(a-b-c) . بعبارت دیگر، مساحت یک مثلث با اضلاع a، b و c به توان دو مساوی p(p-a)(p-b)(p-c) میباشد، و p = 1/2(a+b+c) نصف محیط مثلث است. بنابر‌این پاسخ این سوأل مثبت است.