سیستم CoCoA
Computations in Commutative Algebra
محاسبات در جبر جابجایی

CoCoA چیست؟

This pages counts visits by visitors



چه محاسباتی را میتوان با CoCoA انجام داد؟

  • اعداد صحیح خیلی بزرگ
  • اعداد گویا
  • چندجمله‌ایها
  • سیستمهای خطی
  •  
  • حلهای صحیح نامنفی
  • مثالی در منطق
  • رنگ‌آمیزی نقشه‌های جغرافیایی
  • فرمول هران

  • اعداد صحیح خیلی بزرگ

    بزرگترین "عدد صحیح ماشینی" که میتوان روی یک کامپیوتر 32 bit استفاده کرد 2^32-1 است، ولی CoCoA با GMP library قدرتمندش میتواند حتی اعدادی به بزرگی 2^300000 را هم حساب کند: امتحان کنید!
    2^32-1; 
    4294967295
    2^64-1; 
    18446744073709551615

    اعداد گویا

    CoCoA در محاسبۀ کسور خیلی دقیق است، و هرگز آنها را تخمین نمیزند. بنابر‌این 1/3 کاملاً با 0.3333333333333 متفاوت است.
    (1/3) * 3;
    1
    0.3333333333333 * 3;
    9999999999999/10000000000000

    چندجمله‌ایها

    CoCoA در ضرب، تقسیم، فاکتورگیری و ... چندجمله‌ایها تخصص دارد.
    (x-y)^2 * (x^4-4*z^4) / (x^2+2*z^2);
    x^4 -2*x^3*y +x^2*y^2 -2*x^2*z^2 +4*x*y*z^2 -2*y^2*z^2
    Factor(x^4 -2*x^3*y +x^2*y^2 -2*x^2*z^2 +4*x*y*z^2 -2*y^2*z^2);
    Record[
      Exponents := [1, 2],
      Factors := [x^2 -2*z^2, x -y],
      RemainingFactor := 1
    ]

    سیستمهای خطی

    CoCoA میتواند سیستمهای خطی را حل کند. تنها کاری که باید انجام داد نوشتن هر معادله f=c به صورت یک چندجمله‌ای f-c میباشد. علاوه بر این CoCoA میتواند سیستمهای چندجمله‌ای را هم حل کند، ولی این امر کمی مشکلتر است، و بعداً دوباره آنرا خواهیم دید. اکنون سیستم زیر را حل میکنیم.
    x-y+z=2
    3x-z=-6
    x+y=1
    System := Ideal(x-y+z-2, 3*x-z+6, x+y-1);
    ReducedGBasis(System);
    [z - 21/5, x + 3/5, y - 8/5]
    بنابر‌این حل x=-3/5, y=8/5, z=21/5 میباشد.

    حلهای صحیح نامنفی

    آی میتوانید سه حل صحیح نامنفی برای سیستم زیر پیدا کنید؟
    3x - 4y + 7z=2
    2x - 2y + 5z=10
    M := Mat([[3, -4, 7, -2], [2, -2, 5, -10]]);
    H := HilbertBasis(M);
    L := [A In H | A[4] <= 1];
    L;
    [[0, 10, 6, 1], [6, 11, 4, 1], [12, 12, 2, 1], [18, 13, 0, 1]]
    مفهوم سطر آخر این است که فقط چهار حل وجود دارد: (0, 10, 6)، (6, 11, 4)، (12, 12, 2)، (18, 13, 0).

    مثالی در منطق

    A میگوید: "B دروغ میگوید."
    B میگوید: "C دروغ میگوید."
    C میگوید: "A و B دروغ میگویند."
    بالاخره کدام یکی از آنها دروغ میگویند؟
    برای پاسخ به این سوأل بجای TRUE از عدد 1 و بجای FALSE از عدد 0 در ZZ/(2) استفاده میکنیم:
    Use ZZ/(2)[a,b,c];
    I1 := Ideal(a, b-1);
    I2 := Ideal(a-1, b);
    A := Intersection(I1, I2);
    I3 := Ideal(b, c-1);
    I4 := Ideal(b-1, c);
    B := Intersection(I3, I4);
    I5 := Ideal(a, b, c-1);
    I6 := Ideal(b-1, a, c);
    I7 := Ideal(b, a-1, c);
    I8 := Ideal(b-1, a-1, c);
    C := Intersection(I5, I6, I7, I8);
    ReducedGBasis(A + B + C);
    [a, b+1, c]
    پاسخ منحصر به فرد این سوأل این است که A و C هر دو دروغ میگفتند، و B راست میگفت.

    رنگ‌آمیزی نقشه‌های جغرافیایی

    آیا میتوان با سه رنگ همۀ کشورهای روی یک نقشه را رنگ زد، به طوری که دو کشور هسایه همرنگ نباشند؟

    Use P ::= ZZ/(3)[x[1..6]];
    Define F(X)  Return X*(X-1)*(X+1);  EndDefine;
    VerticesEq := [ F(x[I]) | I In 1..6 ];
    Edges := [[1,2],[1,3],[2,3], [2,4], [2,5], [3,4], [3,6],
                [4,5], [4,6], [5,6]];
    EdgesEq := [ (F(x[A[1]])-F(x[A[2]]))/(x[A[1]]-x[A[2]])
                      |  A In Edges ];
    I := Ideal(VerticesEq) + Ideal(EdgesEq) + Ideal(x[1]-1, x[2]);
    ReducedGBasis(I);
    [x[2], x[1] - 1, x[3] + 1, x[4] - 1, x[6], x[5] + 1]
    مفهوم سطر آخر این است که یقیناً چنین رنگ‌آمیزی ممکن است. مثلاً اگر 0 نشانگر آبی، 1 نشانگر قرمز، و -1 نشانگر سبز باشد، به نتیجۀ زیر خواهیم ر! سید: کشور 1 = قرمز؛ کشور 2 = آبی؛ کشور 3 = سبز؛ کشور 4 = قرمز؛ کشور 5 = سبز؛ کشور 6 = آبی.


    فرمول هران

    آیا میتوان مساحت یک مثلث را به صورت تابعی از طول اضلاعش نوشت؟

    Use QQ[x[1..2],y,a,b,c,s];
    A := [x[1], 0];
    B := [x[2], 0];
    C := [ 0,   y];
    Hp := Ideal(a^2 - (x[2]^2+y^2),  b^2 - (x[1]^2+y^2),
                c   - (x[2]-x[1]),   2*s - c*y);
    E := Elim(x[1]..y,Hp);
    F := Monic(Comp(Gens(E),1));
    F;
    a^4 -2*a^2*b^2 +b^4 -2*a^2*c^2 -2*b^2*c^2 +c^4 +16*s^2
    Factor(F - 16*s^2);
    [[a + b + c, 1], [a + b - c, 1], [a - b + c, 1], [a - b - c, 1]]
    مفهوم سطر آخر این است که
    s^2 = (1/16)(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(a-b-c) .
    بعبارت دیگر، مساحت یک مثلث با اضلاع a، b و c به توان دو مساوی p(p-a)(p-b)(p-c) میباشد، و p = 1/2(a+b+c) نصف محیط مثلث است. بنابر‌این پاسخ این سوأل مثبت است.

    Written by Sara Faridi -- using Farsiweb
    مترجم: سارا فریدی
    لطفاً نظریات و پیشنهادات خود را به آدرس الکترونیکی cocoa(at)dima.unige.it بفرستید.
    Please send comments or suggestions to cocoa(at)dima.unige.it
    Last Update: 19 September 2011