CoCoA System
Computations in Commutative Algebra

Hvad er CoCoA?

This pages counts visits by visitors



Hvad kan vi beregne med CoCoA?

  • Meget store heltal
  • Rationale tal
  • Polynomier
  • Lineære ligningssystemer
  •  
  • Ikke-negative heltalsløsninger
  • Et eksempel på logik
  • Kortfarvning
  • Herons formel

  • Meget store heltal

    Det største heltal man kan repræsentere på en 32-bit computer er 2^32-1, men CoCoA kan, takket være det kraftfulde GMP bibliotek, regne med tal så store som 2^300000: Prøv det!
    2^32-1; 
    4294967295
    2^64-1; 
    18446744073709551615

    Rationale tal

    CoCoA er meget præcis med hensyn til brøker: Den approksimerer dem aldrig! Så 1/3 er ganske forskellig fra 0.3333333333333 .
    (1/3) * 3;
    1
    0.3333333333333 * 3;
    9999999999999/10000000000000

    Polynomier

    CoCoA er specialiceret til at foretage beregninger med polynomier: Den kan gange, dividere, faktorisere, ...
    (x-y)^2 * (x^4-4*z^4) / (x^2+2*z^2);
    x^4 -2*x^3*y +x^2*y^2 -2*x^2*z^2 +4*x*y*z^2 -2*y^2*z^2
    Factor(x^4 -2*x^3*y +x^2*y^2 -2*x^2*z^2 +4*x*y*z^2 -2*y^2*z^2);
    Record[
      Exponents := [1, 2],
      Factors := [x^2 -2*z^2, x -y],
      RemainingFactor := 1
    ]

    Lineære ligningssystemer

    CoCoA kan løse lineære ligningssystemer. Du skal blot skrive hver ligning f = c som polynomiet f - c. CoCoA kan også løse polynomielle ligningssystemer, men dette er lidt mere vanskeligt, som vi senere skal se. Vi løser nu
    x-y+z=2
    3x-z=-6
    x+y=1
    System := Ideal(x-y+z-2, 3*x-z+6, x+y-1);
    ReducedGBasis(System);
    [z - 21/5, x + 3/5, y - 8/5]
    Løsningen er dermed (z=21/5, x=-3/5, y=8/5)

    Ikke-negative heltalsløsninger

    Kan du finde de ikke-negative heltalsløsninger til det følgende ligningssystem?
    3x - 4y + 7z=2
    2x - 2y + 5z=10
    M := Mat([[3, -4, 7, -2], [2, -2, 5, -10]]);
    H := HilbertBasis(M);
    L := [A In H | A[4] <= 1];
    L;
    [[0, 10, 6, 1], [6, 11, 4, 1], [12, 12, 2, 1], [18, 13, 0, 1]]
    Fortolkningen er, at der netop fire løsninger: (0, 10, 6), (6, 11, 4), (12, 12, 2), (18, 13, 0).

    Et eksempel på logik

    A siger: "B lyver."
    B siger: "C lyver."
    C siger: "A og B lyver."
    Hvem er det egentlig der lyver?
    For at svare på dette spørgsmål koder vi SAND med 1 og FALSK med 0 i ZZ/(2):
    Use ZZ/(2)[a,b,c];
    I1 := Ideal(a, b-1);
    I2 := Ideal(a-1, b);
    A := Intersection(I1, I2);
    I3 := Ideal(b, c-1);
    I4 := Ideal(b-1, c);
    B := Intersection(I3, I4);
    I5 := Ideal(a, b, c-1);
    I6 := Ideal(b-1, a, c);
    I7 := Ideal(b, a-1, c);
    I8 := Ideal(b-1, a-1, c);
    C := Intersection(I5, I6, I7, I8);
    ReducedGBasis(A + B + C);
    [a, b+1, c]
    Den entydige løsning er, at A og C løj, og B talte sandt.

    Kortfarvning

    Kan landene på et kort farvelægges med tre farver på en sådan måde, at ingen nabolande har samme farve?

    Use P ::= ZZ/(3)[x[1..6]];
    Define F(X)  Return X*(X-1)*(X+1);  EndDefine;
    VerticesEq := [ F(x[I]) | I In 1..6 ];
    Edges := [[1,2],[1,3],[2,3], [2,4], [2,5], [3,4], [3,6],
                [4,5], [4,6], [5,6]];
    EdgesEq := [ (F(x[A[1]])-F(x[A[2]]))/(x[A[1]]-x[A[2]])
                      |  A In Edges ];
    I := Ideal(VerticesEq) + Ideal(EdgesEq) + Ideal(x[1]-1, x[2]);
    ReducedGBasis(I);
    [x[2], x[1] - 1, x[3] + 1, x[4] - 1, x[6], x[5] + 1]
    Fortolkningen er, at der rent faktisk er en farvelægning i dette tilfælde. For eksempel, hvis 0 betyder blå, 1 betyder rød og -1 betyder grøn, får vi [land 1 = rød; land 2 = blå; land 3 = grøn; land 4 = rød; land 5 = grøn; land 6 = blå]


    Herons formel

    Er det muligt at udtrykke arealet af en trekant som en funktion af længden af dens sider?

    Use QQ[x[1..2],y,a,b,c,s];
    A := [x[1], 0];
    B := [x[2], 0];
    C := [ 0,   y];
    Hp := Ideal(a^2 - (x[2]^2+y^2),  b^2 - (x[1]^2+y^2),
                c   - (x[2]-x[1]),   2*s - c*y);
    E := Elim(x[1]..y,Hp);
    F := Monic(Comp(Gens(E),1));
    F;
    a^4 -2*a^2*b^2 +b^4 -2*a^2*c^2 -2*b^2*c^2 +c^4 +16*s^2
    Factor(F - 16*s^2);
    [[a + b + c, 1], [a + b - c, 1], [a - b + c, 1], [a - b - c, 1]]
    Fortolkningen er, at vi har
    s^2 = -(1/16)(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(a-b-c).
    Dette betyder, at kvadratet af arealet af en trekant med siderne a, b, c er p(p-a)(p-b)(p-c), hvor p = 1/2(a+b+c) er det halve af trekantens omkreds. Svaret er således JA.

    Written by Troels Windfeldt
    Please send comments or suggestions to cocoa(at)dima.unige.it
    Last Update: 19 September 2011