CoCoA System
Computations in Commutative Algebra

Çfarë është CoCoA?

This pages counts visits by visitors


  • CoCoA është një program për të llogaritur numrat dhe polinomet.
  • Mund të gjëndet falas në Internet
  • Punon në shumë sisteme operativë
  • Pëdoret nga shumë studiues, por mund të jetë i dobishëm edhe për "llogaritjet" e thjeshta.

  • Çfarë mund të llogaritim ne me anë të CoCoA?

  • Numra të Plotë shumë të Mëdhenj
  • Numra Racional
  • Polinomet
  • Sistemet Lineare
  •  
  • Zgjidhjet e plota jo-negative
  • Shembull Logjik
  • Ngjyrosja e Hartave Gjeografike
  • Formula e Heronit

  • Numra të Plotë shumë të Mëdhenj

    Makina më e "fuqishme kompjuterike" qe ju mund të pëdorni për llogaritjen e numrave të plotë në një kompjuter prej 32-bit është 2^32-1. Por, CoCoA fal bibliotekës së fuqishme GMP që zotëron, mund të llogariti numra të mëdhenj të rendit 2^300000. Provoje tani!
    2^32-1; 
    4294967295
    2^64-1; 
    18446744073709551615

    Numra Racional

    CoCoA është shumë i saktë me fraksionet; asnjëherë nuk i merr me përafrim ato! Kështu 1/3 është ndryshe nga 0.3333333333333.
    (1/3) * 3;
    1
    0.3333333333333 * 3;
    9999999999999/10000000000000

    Polinomet

    CoCoA është i specializuar në llogaritjet me polinomet: mund të shumëzoj, pjestoj, faktorizoj ....polinome.
    (x-y)^2 * (x^4-4*z^4) / (x^2+2*z^2);
    x^4 -2*x^3*y +x^2*y^2 -2*x^2*z^2 +4*x*y*z^2 -2*y^2*z^2
    Factor(x^4 -2*x^3*y +x^2*y^2 -2*x^2*z^2 +4*x*y*z^2 -2*y^2*z^2);
    Record[
      Exponents := [1, 2],
      Factors := [x^2 -2*z^2, x -y],
      RemainingFactor := 1
    ]

    Sistemet Lineare

    CoCoA mund të zgjidh ekuacione të sistemeve lineare. Ju vetëm duhet të shkruani çdo ekuacion f = c si polinom f - c. Gjithashtu, CoCoA mund të zgjidhë sistemet polinomiale, por kjo është pak më e vështirë dhe ne do të shohim më vonë. Tani le të zgjidhim
    x-y+z=2
    3x-z=-6
    x+y=1
    System := Ideal(x-y+z-2, 3*x-z+6, x+y-1);
    ReducedGBasis(System);
    [z - 21/5, x + 3/5, y - 8/5]
    Kështu që zgjidhja është (z=21/5, x=-3/5, y=8/5)

    Zgjidhjet e plota jo-negative

    A mund të gjeni treshen e numrave të plotë jo-negativ që janë zgjidhje e sistemit të mëposhtme ?
    3x - 4y + 7z=2
    2x - 2y + 5z=10
    M := Mat([[3, -4, 7, -2], [2, -2, 5, -10]]);
    H := HilbertBasis(M);
    L := [A In H | A[4] <= 1];
    L;
    [[0, 10, 6, 1], [6, 11, 4, 1], [12, 12, 2, 1], [18, 13, 0, 1]]
    Interpretimi është se ka vetëm katër zgjidhje (0, 10, 6), (6, 11, 4), (12, 12, 2), (18, 13, 0).

    Shembull Logjik

    A thotë: "B gënjen."
    B thotë: "C gënjen."
    C thotë: "A dhe B gënjejnë."
    Tani, cili po gënjen këtu?
    Për t'iu përgjigjur kësaj pyetjeje, me kodin 1 shënojmë "E VERTETE" dhe me kodin 0 "FALSE" në Z / (2):
    Use ZZ/(2)[a,b,c];
    I1 := Ideal(a, b-1);
    I2 := Ideal(a-1, b);
    A := Intersection(I1, I2);
    I3 := Ideal(b, c-1);
    I4 := Ideal(b-1, c);
    B := Intersection(I3, I4);
    I5 := Ideal(a, b, c-1);
    I6 := Ideal(b-1, a, c);
    I7 := Ideal(b, a-1, c);
    I8 := Ideal(b-1, a-1, c);
    C := Intersection(I5, I6, I7, I8);
    ReducedGBasis(A + B + C);
    [a, b+1, c]
    Zgjidhje unike është se A dhe C janë duke gënjyer dhe B është duke thënë të vërtetën.

    Ngjyrosja e Hartave Gjeografike

    A mundet që vendet në një hartë gjeografike të ngjyrosen me tre ngjyra të ndryshme në mënyrë që dy vende të njëpasnjëshëm në hartë, të kenë të njëjtë ngjyrë?

    Use P ::= ZZ/(3)[x[1..6]];
    Define F(X)  Return X*(X-1)*(X+1);  EndDefine;
    VerticesEq := [ F(x[I]) | I In 1..6 ];
    Edges := [[1,2],[1,3],[2,3], [2,4], [2,5], [3,4], [3,6],
                [4,5], [4,6], [5,6]];
    EdgesEq := [ (F(x[A[1]])-F(x[A[2]]))/(x[A[1]]-x[A[2]])
                      |  A In Edges ];
    I := Ideal(VerticesEq) + Ideal(EdgesEq) + Ideal(x[1]-1, x[2]);
    ReducedGBasis(I);
    [x[2], x[1] - 1, x[3] + 1, x[4] - 1, x[6], x[5] + 1]
    Interpretimi është se nuk është me të vërtetë një ngjyrosje në këtë rast. Për shembull, në qoftë 0 do të thotë blu, 1 do të thotë e kuqe, dhe -1 do të thotë të gjelbër, kemi që [vendi 1 = e kuqe, vendi 2 = blu, vendi 3 = e gjelbër; vendi 4 = kuqe; vendi 5 = e gjelbër; vendi 6 = blu ]


    Formula e Heronit

    A është e mundur të shprehet suprina e një trekëndëshi si një funksion i gjatësisë së brinjëve të tij?

    Use QQ[x[1..2],y,a,b,c,s];
    A := [x[1], 0];
    B := [x[2], 0];
    C := [ 0,   y];
    Hp := Ideal(a^2 - (x[2]^2+y^2),  b^2 - (x[1]^2+y^2),
                c   - (x[2]-x[1]),   2*s - c*y);
    E := Elim(x[1]..y,Hp);
    F := Monic(Comp(Gens(E),1));
    F;
    a^4 -2*a^2*b^2 +b^4 -2*a^2*c^2 -2*b^2*c^2 +c^4 +16*s^2
    Factor(F - 16*s^2);
    [[a + b + c, 1], [a + b - c, 1], [a - b + c, 1], [a - b - c, 1]]
    Interpretimi është
    s^2 = -(1/16)(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(a-b-c).
    Kjo do të thotë se katrori i suprinës së një trekëndëshi me brinjë, a,b,c është p(p-a)(p-b)(p-c) ku p = 1/2(a+b+c) është gjysëperimetri. Pra, përgjigjia është PO.

    Written by Evisa Alizoti
    Please send comments or suggestions to cocoa(at)dima.unige.it
    Last Update: 19 September 2011